Упр.1512 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1512 В правильной пирамиде SABC из вершины S проведена высота SO. Найти сторону основания пирамиды, если объём пирамиды является наибольшим при условии, что SO + АС = 9 и 1 < =АС < =8.

Пусть $$AC=x$$ — сторона основания пирамиды, $$SO=h$$ — её высота. По условию

$$x+h=9,$$

значит

$$h=9-x,$$

где $$1\le x\le 8.$$

Основание пирамиды — равносторонний треугольник, поэтому его площадь равна

$$S=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}.$$

Тогда объём пирамиды

$$V(x)=\frac13Sh=\frac13\cdot \frac{x^2\sqrt{3}}{4}\cdot(9-x)=\frac{\sqrt{3}}{12}(9x^2-x^3).$$

Найдём производную:

$$V'(x)=\frac{\sqrt{3}}{12}(18x-3x^2)=\frac{3\sqrt{3}}{12}x(6-x).$$

Критические точки на отрезке $$[1;8]$$: $$x=6.$$

Проверим знак производной: при $$1<x<6$$ имеем $$V'(x)>0,$$ а при $$6<x<8$$ имеем $$V'(x)<0.$$ Значит, при $$x=6$$ объём пирамиды наибольший.

Ответ

$$6$$