Упр.1511 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: Найти наибольший возможный объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна 54пи см2, если известно, что радиус основания не меньше 2 см и не больше 4 см. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1511 1111

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда площадь полной поверхности равна

$$S=2\pi r^2+2\pi rh=54\pi.$$

Выразим высоту:

$$2\pi rh=54\pi-2\pi r^2,$$

$$h=\frac{54\pi-2\pi r^2}{2\pi r}=\frac{27-r^2}{r}.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi r^2\cdot \frac{27-r^2}{r}=\pi(27r-r^3).$$

Найдём производную:

$$V'(r)=\pi(27-3r^2)=3\pi(9-r^2).$$

При $$r>0$$ максимум достигается при

$$V'(r)=0 \Rightarrow 9-r^2=0 \Rightarrow r=3.$$

Это значение подходит, так как $$2\le r\le 4$$.

Тогда

$$h=\frac{27-3^2}{3}=\frac{18}{3}=6,$$

и максимальный объём равен

$$V_{\max}=\pi\cdot 3^2\cdot 6=54\pi\ \text{см}^3.$$

Ответ

$$54\pi\ \text{см}^3$$