Упр.1510 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Периметр осевого сечения цилиндра $$6\ \text{дм}$$. При каком радиусе основания цилиндра его объём будет наибольшим?

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда периметр осевого сечения равен

$$2(2r+h)=6,$$

откуда

$$4r+2h=6,$$

$$h=3-2r.$$

Объём цилиндра:

$$V(r)=\pi r^2h=\pi r^2(3-2r)=3\pi r^2-2\pi r^3.$$

Найдём производную:

$$V'(r)=6\pi r-6\pi r^2=6\pi r(1-r).$$

Критические точки:

$$6\pi r(1-r)=0 \quad \Rightarrow \quad r=0 \text{ или } r=1.$$

При $$0<r<1$$ производная положительна, а при $$r>1$$ — отрицательна, значит, при $$r=1$$ объём достигает максимума.

Ответ: $$1$$ дм.