Упр.1510 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1510 Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиусе основания цилиндра его объём будет наибольшим? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1510 1111

Подробный ответ

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота.

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник со сторонами $$2r$$ и $$h$$, поэтому его периметр равен

$$2(2r+h)=6.$$

Отсюда

$$2r+h=3, \qquad h=3-2r.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi r^2h=\pi r^2(3-2r)=3\pi r^2-2\pi r^3.$$

Найдём производную:

$$V'(r)=6\pi r-6\pi r^2=6\pi r(1-r).$$

Критические точки:

$$6\pi r(1-r)=0 \Rightarrow r=0 \text{ или } r=1.$$

Так как $$0<r<\frac{3}{2}$$, рассматриваем внутреннюю точку $$r=1$$. При $$0<r<1$$ производная положительна, а при $$1<r<\frac{3}{2}$$ — отрицательна, значит, при $$r=1$$ объём достигает наибольшего значения.