Упр.1509 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$y=x\sqrt{1-x^2}$$ на отрезке $$[0;1]$$.

Рассмотрим функцию $$y=x\sqrt{1-x^2}$$ на отрезке $$[0;1].$$

Найдём производную:

$$y’=\sqrt{1-x^2}+x\cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} =\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} =\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Критические точки внутри отрезка найдём из уравнения $$y’=0$$:

$$\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}=0 \quad \Rightarrow \quad 1-2x^2=0,$$

откуда

$$x^2=\frac12,\qquad x=\pm \frac{1}{\sqrt2}.$$

На отрезке $$[0;1]$$ подходит только точка $$x=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(0)=0\cdot \sqrt{1-0^2}=0,$$

$$y(1)=1\cdot \sqrt{1-1^2}=0,$$

$$y\!\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{1-\frac12} =\frac{1}{\sqrt2}\cdot \frac{1}{\sqrt2} =\frac12.$$

Следовательно, на отрезке $$[0;1]$$ наибольшее значение функции равно $$\frac12,$$ а наименьшее — $$0.$$

Ответ: $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=\frac12.$$