Упр.1509 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1509 у — х (корень 1 — х2) на отрезке [0; 1].

Рассмотрим функцию $$y=x\sqrt{1-x^2}$$ на отрезке $$[0;1].$$

Найдём производную:

$$ y’=\sqrt{1-x^2}+x\cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} =\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} =\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}. $$

Критические точки внутри отрезка найдём из уравнения

$$1-2x^2=0,$$

откуда

$$x^2=\frac12,\qquad x=\pm \frac{1}{\sqrt2}.$$

На отрезке $$[0;1]$$ подходит только точка

$$x=\frac{1}{\sqrt2}.$$

Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$ y(0)=0\cdot \sqrt{1-0^2}=0, $$

$$ y(1)=1\cdot \sqrt{1-1^2}=0, $$

$$ y\!\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)=\frac{1}{\sqrt2}\sqrt{1-\frac12} =\frac{1}{\sqrt2}\cdot \frac{1}{\sqrt2} =\frac12. $$

Следовательно, на отрезке $$[0;1]$$ наибольшее значение функции равно $$\frac12,$$ а наименьшее — $$0.$$

Ответ

$$y_{\min}=0,\qquad y_{\max}=\frac12.$$