Упр.1508 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1508 у = sin х + 2 (корень 2) cosx на отрезке [0;пи/2] *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1508 1111

Рассмотрим функцию $$y=\sin x+2\sqrt{2}\cos x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$y’=\cos x-2\sqrt{2}\sin x.$$

Исследуем стационарные точки:

$$\cos x-2\sqrt{2}\sin x=0,$$

$$\cos x\neq 0 \text{ на } \left[0;\frac{\pi}{2}\right), \quad \tg x=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}.$$

Тогда

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{8}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{8}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3},$$

$$\sin x=\tg x\cdot \cos x=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

$$y(0)=\sin 0+2\sqrt{2}\cos 0=2\sqrt{2},$$

$$y\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \frac{\pi}{2}+2\sqrt{2}\cos \frac{\pi}{2}=1,$$

$$y=\frac{1}{3}+2\sqrt{2}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}+\frac{8}{3}=3.$$

Сравниваем полученные значения: наибольшее значение равно $$3,$$ наименьшее — $$1.$$

Ответ

$$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=3.$$