Упр.1508 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$y=\sin x+2\sqrt{2}\cos x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.

Рассмотрим функцию $$y=\sin x+2\sqrt2\cos x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$y’=\cos x-2\sqrt2\sin x.$$

Ищем стационарные точки:

$$\cos x-2\sqrt2\sin x=0,$$

$$\cos x=2\sqrt2\sin x,$$

$$\tg x=\frac{1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{4}.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ такая точка есть, но для нахождения наибольшего и наименьшего значений достаточно сравнить значения функции в концах отрезка и в стационарной точке.

Пусть $$\tg x=\frac{\sqrt2}{4}.$$ Тогда

$$\cos x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 x}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{16}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{9}{8}}}=\frac{2\sqrt2}{3},$$

$$\sin x=\tg x\cdot \cos x=\frac{\sqrt2}{4}\cdot \frac{2\sqrt2}{3}=\frac13.$$

Тогда

$$y=\sin x+2\sqrt2\cos x=\frac13+2\sqrt2\cdot \frac{2\sqrt2}{3}=\frac13+\frac{8}{3}=3.$$

Теперь найдём значения функции на концах отрезка:

$$y(0)=\sin 0+2\sqrt2\cos 0=2\sqrt2,$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin \frac{\pi}{2}+2\sqrt2\cos \frac{\pi}{2}=1.$$

Сравниваем значения: $$1,\;2\sqrt2,\;3.$$

Наименьшее значение равно $$1,$$ наибольшее — $$3.$$

Ответ

$$y_{\min}=1,\qquad y_{\max}=3.$$