Упр.1507 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1507. Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$y=2\sin x+\cos 2x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.

Найдём производную функции $$y=2\sin x+\cos 2x$$ на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

$$y’ = 2\cos x — 2\sin 2x = 2\cos x — 4\sin x\cos x = 2\cos x(1-2\sin x).$$

Критические точки на отрезке получаем из уравнения

$$2\cos x(1-2\sin x)=0.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ имеем:

• $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2};$$
• $$1-2\sin x=0 \Rightarrow \sin x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}.$$

Проверим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(0)=2\sin 0+\cos 0=0+1=1,$$

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac12+\frac12=\frac32,$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}+\cos\pi=2-1=1.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$\frac32,$$ а наименьшее — $$1.$$

Ответ: $$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=\frac32.$$