Упр.1507 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1507
у = 2 sin х + cos 2х на отрезке [0;пи/2]

Найдём производную функции:

$$y=2\sin x+\cos 2x$$

$$y’ = 2\cos x — 2\sin 2x$$

Используем формулу $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$:

$$y’ = 2\cos x — 4\sin x \cos x = 2\cos x(1-2\sin x)$$

Рассмотрим знак производной на отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$.

На этом отрезке $$\cos x \ge 0$$, а внутри интервала $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$ имеем $$\cos x > 0$$.

Критические точки найдём из уравнения:

$$2\cos x(1-2\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1-2\sin x=0$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем:

$$x=\frac{\pi}{2}, \qquad \sin x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(0)=2\sin 0+\cos 0=0+1=1$$

$$y\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac12+\frac12=\frac32$$

$$y\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}+\cos\pi=2-1=1$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$\frac32$$, а наименьшее — $$1$$.

Ответ

$$y_{\min}=1,\quad y_{\max}=\frac32$$