Упр.1506 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$y=\frac{3x^2+4x+4}{x^2+x+1}$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{(6x+4)(x^2+x+1)-(3x^2+4x+4)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2}$$

$$y'(x)=\frac{6x^3+6x^2+6x+4x^2+4x+4-6x^3-3x^2-8x^2-4x-8x-4}{(x^2+x+1)^2}$$

$$y'(x)=\frac{-x^2-2x}{(x^2+x+1)^2} =\frac{-x(x+2)}{(x^2+x+1)^2}$$

Так как знаменатель всегда положителен, знак производной определяется числителем $$-x(x+2)$$.

Критические точки:

$$-x(x+2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-2.$$

Исследуем знак производной:

• при $$x<-2$$ имеем $$y'(x)<0$$;
• при $$-2<x<0$$ имеем $$y'(x)>0$$;
• при $$x>0$$ имеем $$y'(x)<0$$.

Следовательно, в точке $$x=-2$$ функция имеет минимум, а в точке $$x=0$$ — максимум.

2) $$y=\frac{x^2+6x+3}{3x+4}$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{(2x+6)(3x+4)-3(x^2+6x+3)}{(3x+4)^2}$$

$$y'(x)=\frac{6x^2+8x+18x+24-3x^2-18x-9}{(3x+4)^2} =\frac{3x^2+8x+15}{(3x+4)^2}$$

Рассмотрим числитель:

$$D=8^2-4\cdot 3\cdot 15=64-180=-116<0.$$

Значит, $$3x^2+8x+15>0$$ при всех $$x$$, а знаменатель $$(3x+4)^2>0$$ при $$x\ne -\frac43$$.

Следовательно, функция возрастает на всей области определения и не имеет точек экстремума.

Ответ

1) $$x=-2$$ — точка минимума, $$x=0$$ — точка максимума.
2) Точек экстремума нет.