Упр.1504 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти промежутки монотонности функции: 1) $$y=\frac{x^2+1}{x^2-1}$$; 2) $$y=\frac{x^2-1}{x}$$.

1) Рассмотрим функцию $$y=\frac{x^2+1}{x^2-1}.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(x^2+1)'(x^2-1)-(x^2+1)(x^2-1)’}{(x^2-1)^2} =\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2} =\frac{-4x}{(x^2-1)^2}.$$

Область определения: $$x\neq \pm 1.$$

Так как $$\left(x^2-1\right)^2>0$$ при всех $$x\neq \pm 1,$$ знак производной определяется знаком числителя $$-4x.$$

$$y’>0 \iff x<0, \qquad y'<0 \iff x>0.$$

С учётом разрывов в точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ получаем:

функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0),$$

убывает на $$(0;1)\cup(1;+\infty).$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\frac{x^2-1}{x}.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(x^2-1)’x-(x^2-1)x’}{x^2} =\frac{2x\cdot x-(x^2-1)\cdot 1}{x^2} =\frac{x^2+1}{x^2}.$$

Область определения: $$x\neq 0.$$

Так как $$x^2+1>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x\neq 0,$$ то

$$y’>0 \quad \text{при всех } x\neq 0.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

1) Возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0),$$ убывает на $$(0;1)\cup(1;+\infty).$$

2) Возрастает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$