Упр.1504 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) y=(x2+1)/(x2-1);
2) y=(x2-1)/x.

1. $$y=\frac{x^2+1}{x^2-1}$$

   Найдём производную:

   $$ y’=\frac{(x^2+1)'(x^2-1)-(x^2+1)(x^2-1)’}{(x^2-1)^2} =\frac{2x(x^2-1)-2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2} =\frac{-4x}{(x^2-1)^2}. $$

   Область определения: $$x\neq \pm 1$$.

   Так как $$\left(x^2-1\right)^2>0$$ при $$x\neq \pm 1$$, знак производной определяется числителем $$-4x$$:

   • если $$x<0$$, то $$y’>0$$, функция возрастает;
   • если $$x>0$$, то $$y'<0$$, функция убывает.

   С учётом разрывов в точках $$x=-1$$ и $$x=1$$ получаем:

   возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0)$$;

   убывает на $$(0;1)\cup(1;+\infty)$$.

2. $$y=\frac{x^2-1}{x}$$

   Преобразуем функцию:

   $$y=x-\frac{1}{x}.$$

   Найдём производную:

   $$ y’=1+\frac{1}{x^2}=\frac{x^2+1}{x^2}. $$

   Область определения: $$x\neq 0$$.

   Так как $$x^2+1>0$$ и $$x^2>0$$ при $$x\neq 0$$, то

   $$y’>0.$$

   Следовательно, функция возрастает на каждом промежутке своей области определения:

   $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

1) Возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0)$$, убывает на $$(0;1)\cup(1;+\infty)$$.

2) Возрастает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.