Упр.1501 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти угол между осью $$Ox$$ и касательной к графику функции $$y=\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)$$ в точке с абсциссой $$x=\frac{\pi}{3}$$.

Найдём производную функции $$y=\frac{2}{3}\cos\left(3x-\frac{\pi}{6}\right).$$

$$y’=\frac{2}{3}\cdot\left(-\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right)\right)\cdot 3=-2\sin\left(3x-\frac{\pi}{6}\right).$$

В точке $$x=\frac{\pi}{3}$$ получаем:

$$y’\left(\frac{\pi}{3}\right)=-2\sin\left(3\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}\right)=-2\sin\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-2\sin\frac{5\pi}{6}=-2\cdot\frac{1}{2}=-1.$$

Угловой коэффициент касательной равен $$k=-1,$$ значит, $$\tan\alpha=-1.$$

Тогда

$$\alpha=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}.$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{4}.$$