Упр.150 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что если каждая из функций $$f(x)$$, $$g(x)$$ и $$\varphi(x)$$ определена на множестве $$X$$ и $$\varphi(x)\ne 0$$ для всех $$x\in X$$, то уравнения $$f(x)=g(x)$$ и $$f(x)\varphi(x)=g(x)\varphi(x)$$ равносильны.

Преобразуем уравнение

$$f(x)\cdot \varphi(x)=g(x)\cdot \varphi(x).$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$f(x)\cdot \varphi(x)-g(x)\cdot \varphi(x)=0,$$

$$\varphi(x)\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=0.$$

Так как по условию $$\varphi(x)\neq 0$$ для всех $$x\in X,$$ то произведение равно нулю только при

$$f(x)-g(x)=0.$$

Следовательно,

$$f(x)=g(x).$$

Обратно, если $$f(x)=g(x),$$ то после умножения обеих частей на $$\varphi(x)$$ получаем

$$f(x)\cdot \varphi(x)=g(x)\cdot \varphi(x).$$

Значит, уравнения равносильны.

Ответ

$$f(x)=g(x)\iff f(x)\cdot \varphi(x)=g(x)\cdot \varphi(x),$$ если $$\varphi(x)\neq 0$$ для всех $$x\in X.$$