Упр.150 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 150. Доказать, что если каждая из функций f (х), g (х) и (р (х) определена на множестве X и ф (х)=/ 0 для всех х принадлежит X, то уравнения f (х) = g (х) и f(х) * ф (х) = g (х) * ф (х) равносильны. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 150 1111

Преобразуем уравнение

$$f(x)\cdot \varphi(x)=g(x)\cdot \varphi(x).$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$f(x)\cdot \varphi(x)-g(x)\cdot \varphi(x)=0,$$

$$\varphi(x)\bigl(f(x)-g(x)\bigr)=0.$$

Так как по условию $$\varphi(x)\neq 0$$ для всех $$x\in X,$$ то произведение равно нулю только тогда, когда

$$f(x)-g(x)=0.$$

Следовательно,

$$f(x)=g(x).$$

Обратно, если $$f(x)=g(x),$$ то после умножения обеих частей на $$\varphi(x)$$ получаем

$$f(x)\cdot \varphi(x)=g(x)\cdot \varphi(x).$$

Значит, уравнения равносильны.

Ответ

$$f(x)=g(x) \iff f(x)\cdot \varphi(x)=g(x)\cdot \varphi(x).$$