Упр.15 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей:

1. $$1,\frac{1}{5},\frac{1}{25},\ldots$$
2. $$\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\ldots$$
3. $$-27,-9,-3,\ldots$$
4. $$-64,-32,-16,\ldots$$

Для геометрической прогрессии бесконечно убывающей является та, у которой $$|q|<1$$, где $$q$$ — знаменатель прогрессии.

1. $$1,\ \frac15,\ \frac1{25},\ldots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{\frac15}{1}=\frac15.$$

   Так как $$\left|q\right|=\frac15<1,$$ то прогрессия бесконечно убывает.

2. $$\frac13,\ \frac19,\ \frac1{27},\ldots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{\frac19}{\frac13}=\frac19\cdot 3=\frac13.$$

   Так как $$\left|q\right|=\frac13<1,$$ то прогрессия бесконечно убывает.

3. $$-27,\ -9,\ -3,\ldots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{-9}{-27}=\frac13.$$

   Так как $$\left|q\right|=\frac13<1,$$ то прогрессия бесконечно убывает.

4. $$-64,\ -32,\ -16,\ldots$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{-32}{-64}=\frac12.$$

   Так как $$\left|q\right|=\frac12<1,$$ то прогрессия бесконечно убывает.

Ответ: все четыре прогрессии являются бесконечно убывающими.