Упр.1498 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f (х) = х ln 2х, х0 = 0,5;
2) f(x)= 2^-х, х0=1.

1. Используем формулу касательной к графику функции в точке $$x_0$$:

   $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

   Для $$f(x)=x\ln 2x$$ найдём производную:

   $$f'(x)=(x)’\ln 2x+x(\ln 2x)’=\ln 2x+x\cdot \frac{2}{2x}=\ln 2x+1.$$

   Вычислим значения при $$x_0=0{,}5$$:

   $$f'(0{,}5)=\ln(2\cdot 0{,}5)+1=\ln 1+1=1,$$

   $$f(0{,}5)=0{,}5\ln(2\cdot 0{,}5)=0{,}5\ln 1=0.$$

   Тогда уравнение касательной:

   $$y=0+1(x-0{,}5)=x-0{,}5.$$

2. Для $$f(x)=2^{-x}$$ найдём производную:

   $$f'(x)=(-x)’\cdot 2^{-x}\ln 2=-2^{-x}\ln 2.$$

   При $$x_0=1$$ имеем:

   $$f(1)=2^{-1}=\frac12,$$

   $$f'(1)=-2^{-1}\ln 2=-\frac12\ln 2.$$

   Подставим в формулу касательной:

   $$y=\frac12-\frac12\ln 2\,(x-1).$$

   Приведём к более удобному виду:

   $$y=\frac12-\frac12x\ln 2+\frac12\ln 2=\frac12(1+\ln 2-x\ln 2).$$

Ответ

1) $$y=x-0{,}5$$

2) $$y=\frac12(1+\ln 2-x\ln 2)$$