Упр.1497 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Касательная к параболе $$y=3x^2+7x+1$$ в точке $$M$$ образует с осью абсцисс угол $$\frac{\pi}{4}$$. Найти координаты точки $$M$$.

Угол наклона касательной к оси абсцисс равен $$\frac{\pi}{4}$$, значит её угловой коэффициент

$$k=\tan \frac{\pi}{4}=1.$$

Для функции $$y=3x^2+7x+1$$ производная равна

$$y’=6x+7.$$

В точке касания угловой коэффициент касательной равен значению производной, поэтому

$$6x+7=1.$$

Решаем уравнение:

$$6x=-6,\qquad x=-1.$$

Найдём ординату точки касания:

$$y(-1)=3\cdot(-1)^2+7\cdot(-1)+1=3-7+1=-3.$$

Следовательно, точка касания имеет координаты $$M(-1;\,-3).$$

Ответ

$$M(-1;\,-3)$$