Упр.1492 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Написать уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:

1. $$f(x)=\frac{3}{4}x\sqrt{x}$$, $$x_0=\frac{1}{4}$$;
2. $$f(x)=2x^4-x^2+4$$, $$x_0=-1$$.

1) Для касательной используем формулу

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

Дано: $$f(x)=\frac{3}{4x\sqrt{x}}, \quad x_0=\frac14.$$

Найдём производную:

$$f(x)=\frac34 x^{-\frac32},$$

$$f'(x)=\frac34\cdot\left(-\frac32\right)x^{-\frac52}=-\frac98x^{-\frac52}=-\frac{9}{8x^2\sqrt{x}}.$$

Вычислим значение производной в точке $$x_0=\frac14$$:

$$f’\!\left(\frac14\right)=-\frac{9}{8\left(\frac14\right)^2\sqrt{\frac14}}=-36.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f\!\left(\frac14\right)=\frac{3}{4\cdot\frac14\cdot\sqrt{\frac14}}=6.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y=6-36\left(x-\frac14\right)=6-36x+9=15-36x.$$

2) Дано: $$f(x)=2x^4-x^2+4, \quad x_0=-1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=8x^3-2x.$$

Вычислим значение производной в точке $$x_0=-1$$:

$$f'(-1)=8(-1)^3-2(-1)=-8+2=-6.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$f(-1)=2(-1)^4-(-1)^2+4=2-1+4=5.$$

Уравнение касательной:

$$y=5-6(x+1)=5-6x-6=-1-6x.$$

Ответ: 1) $$y=15-36x$$; 2) $$y=-1-6x$$.