Упр.1491 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) f(x)=1/4×2 — корень x, x0=1;
2) f(x) =2x корень x, x0=1/3.

1. Для угла наклона касательной используем формулу $$\tan \alpha = f'(x_0).$$

   $$f(x)=\frac{1}{4x^2}-\sqrt{x}, \quad x_0=1.$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\left(\frac{1}{4}x^{-2}\right)’-(x^{1/2})’ =\frac{1}{4}(-2x^{-3})-\frac{1}{2}x^{-1/2} =-\frac{1}{2x^3}-\frac{1}{2\sqrt{x}}. $$

   Подставим $$x_0=1$$:

   $$ f'(1)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1. $$

   Тогда

   $$ \tan \alpha=-1 \quad \Rightarrow \quad \alpha=-\frac{\pi}{4}. $$

2. $$f(x)=2x\sqrt{x}, \quad x_0=\frac{1}{3}.$$

   Представим функцию в виде степени:

   $$ f(x)=2x^{3/2}. $$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=2\cdot \frac{3}{2}x^{1/2}=3\sqrt{x}. $$

   Подставим $$x_0=\frac{1}{3}$$:

   $$ f’\left(\frac{1}{3}\right)=3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}. $$

   Значит,

   $$ \tan \alpha=\sqrt{3} \quad \Rightarrow \quad \alpha=\frac{\pi}{3}. $$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{4}$$; 2) $$\frac{\pi}{3}$$.