Упр.1491 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти угол между осью $$Ox$$ и касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:
   1) $$f(x)=\frac{1}{4}x^2-\sqrt{x},\quad x_0=1$$;
   2) $$f(x)=2x\sqrt{x},\quad x_0=\frac{1}{3}$$.

1) Для функции $$f(x)=\frac{1}{4x^2}-\sqrt{x}$$ найдём производную:

$$f'(x)=\left(\frac{1}{4}x^{-2}\right)’-(x^{1/2})’=-\frac{1}{2}x^{-3}-\frac{1}{2}x^{-1/2}.$$

Подставим $$x_0=1$$:

$$f'(1)=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1.$$

Так как $$\tan \alpha=f'(x_0),$$ то

$$\tan \alpha=-1,$$

откуда

$$\alpha=-\frac{\pi}{4}.$$

2) Для функции $$f(x)=2x\sqrt{x}=2x^{3/2}$$ имеем:

$$f'(x)=2\cdot \frac{3}{2}x^{1/2}=3\sqrt{x}.$$

Подставим $$x_0=\frac{1}{3}$$:

$$f’\!\left(\frac{1}{3}\right)=3\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$\tan \alpha=\sqrt{3},$$

значит

$$\alpha=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{4}$$; 2) $$\frac{\pi}{3}$$.