Упр.1489 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) y=0,5cos+sinx.

1. $$y=0{,}5+\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

   Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

   $$-0{,}5\le 0{,}5+\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1{,}5.$$

2. $$y=0{,}5\cos x+\sin x$$

   Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

   $$0{,}5\cos x+\sin x=\sqrt{1{,}25}\left(\frac{0{,}5}{\sqrt{1{,}25}}\cos x+\frac{1}{\sqrt{1{,}25}}\sin x\right).$$

   Пусть $$\alpha=\arccos\frac{0{,}5}{\sqrt{1{,}25}}.$$ Тогда

   $$\cos\alpha=\frac{0{,}5}{\sqrt{1{,}25}}, \qquad \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1{,}25}}.$$

   Следовательно,

   $$y=\sqrt{1{,}25}\,(\cos\alpha\cos x+\sin\alpha\sin x)=\sqrt{1{,}25}\cos(\alpha-x).$$

   Так как $$-1\le \cos(\alpha-x)\le 1,$$ то

   $$-\sqrt{1{,}25}\le y\le \sqrt{1{,}25}.$$

Ответ

1) $$y\in[-0{,}5;1{,}5]$$

2) $$y\in\left[-\sqrt{1{,}25};\sqrt{1{,}25}\right]$$