Упр.1489 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Для функции $$y=0{,}5+\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$ известно, что

$$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1.$$

Прибавим $$0{,}5$$ ко всем частям неравенства:

$$-0{,}5\le 0{,}5+\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1{,}5.$$

Следовательно,

$$y\in[-0{,}5;\,1{,}5].$$

2) Рассмотрим функцию $$y=0{,}5\cos x+\sin x.$$ Представим её в виде одной тригонометрической функции:

$$y=\sqrt{1{,}25}\left(\frac{0{,}5}{\sqrt{1{,}25}}\cos x+\frac{1}{\sqrt{1{,}25}}\sin x\right).$$

Пусть $$\alpha$$ таково, что

$$\cos\alpha=\frac{0{,}5}{\sqrt{1{,}25}},\qquad \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1{,}25}}.$$

Тогда

$$y=\sqrt{1{,}25}\,(\cos\alpha\cos x+\sin\alpha\sin x)=\sqrt{1{,}25}\cos(\alpha-x).$$

Так как $$-1\le \cos(\alpha-x)\le 1,$$ то

$$-\sqrt{1{,}25}\le y\le \sqrt{1{,}25}.$$

Поскольку $$\sqrt{1{,}25}=\frac{\sqrt5}{2},$$ получаем

$$y\in\left[-\frac{\sqrt5}{2};\,\frac{\sqrt5}{2}\right].$$

Ответ

1) $$y\in[-0{,}5;\,1{,}5]$$

2) $$y\in\left[-\frac{\sqrt5}{2};\,\frac{\sqrt5}{2}\right]$$