Упр.1487 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$y=\sqrt{\log_{0{,}8}(x^2-5x+7)}$$
2. $$y=\sqrt{\log_{0{,}5}(x^2-9)}$$

1) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{\log_{0,8}(x^2-5x+7)}.$$

Чтобы выражение имело смысл, нужно выполнить два условия:

$$\begin{cases} x^2-5x+7>0,\\ \log_{0,8}(x^2-5x+7)\ge 0. \end{cases}$$

Так как $$D=5^2-4\cdot 7=25-28=-3<0,$$ а старший коэффициент положителен, то $$x^2-5x+7>0$$ при всех $$x.$$

Для логарифма с основанием $$0<0,8<1$$ неравенство $$\log_{0,8}(x^2-5x+7)\ge 0$$ равносильно

$$x^2-5x+7\le 1.$$

Тогда

$$x^2-5x+6\le 0,$$

$$(x-2)(x-3)\le 0.$$

Отсюда

$$x\in[2;3].$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{\log_{0,5}(x^2-9)}.$$

Нужно, чтобы

$$\begin{cases} x^2-9>0,\\ \log_{0,5}(x^2-9)\ge 0. \end{cases}$$

Так как $$0<0,5<1,$$ то

$$\log_{0,5}(x^2-9)\ge 0 \iff x^2-9\le 1.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} x^2>9,\\ x^2\le 10. \end{cases}$$

Следовательно,

$$x\in[-\sqrt{10};-3)\cup(3;\sqrt{10}].$$

Ответ

1) $$x\in[2;3].$$ 2) $$x\in[-\sqrt{10};-3)\cup(3;\sqrt{10}].$$