Упр.1486 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Для функции $$y=\sqrt{\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11}}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — не равен нулю:

$$\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11}\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$x^2-6x-16=(x-8)(x+2),$$

$$x^2-12x+11=(x-1)(x-11).$$

Тогда

$$\frac{(x-8)(x+2)}{(x-1)(x-11)}\ge 0.$$

Исследуя знаки, получаем:

$$x\in(-\infty;-2]\cup(1;8]\cup(11;+\infty).$$

2) Для функции $$y=\sqrt{\log_{\frac12}(x-3)-1}$$ нужно выполнить условия:

$$\log_{\frac12}(x-3)-1\ge 0,$$

$$x-3>0.$$

Из первого неравенства:

$$\log_{\frac12}(x-3)\ge 1.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:

$$x-3\le \left(\frac12\right)^1=\frac12.$$

Совмещая с условием $$x-3>0,$$ получаем:

$$3<x\le \frac72.$$

Следовательно, область определения второй функции:

$$x\in\left(3;\frac72\right].$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-2]\cup(1;8]\cup(11;+\infty).$$

2) $$x\in\left(3;\frac72\right].$$