Упр.1482 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1)у = Зх+1;
2) у = log2 (х + 1);
3) у = log1/3 (х- 1).
$$y=3^x+1$$
Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная, так как
$$y(-x)=3^{-x}+1=\frac{1}{3^x}+1\ne y(x), \qquad y(-x)\ne -y(x).$$
Производная:
$$y'(x)=(3^x)’=3^x\ln 3>0.$$
Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.
Область значений: $$E(y)=(1;+\infty).$$
Пересечение с осью $$Oy$$:
$$y(0)=3^0+1=2.$$
Для построения удобно взять несколько точек:
$$ \begin{array}{c|ccc} x & -2 & 1 & 2 \\ \hline y & \frac{10}{9} & 4 & 10 \end{array} $$
График — возрастающая экспонента, сдвинутая вверх на 1.
$$y=\log_2(x+1)$$
Область определения: $$x+1>0,$$ откуда $$D(y)=(-1;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
Производная:
$$y'(x)=\frac{1}{(x+1)\ln 2}>0 \quad \text{при } x>-1.$$
Следовательно, функция возрастает на всей области определения.
Область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Пересечение с осью $$Oy$$:
$$y(0)=\log_2 1=0.$$
Для построения удобно взять точки:
$$ \begin{array}{c|ccc} x & 0 & 2 & 6 \\ \hline y & 0 & 1 & 2 \end{array} $$
График — логарифмическая кривая, сдвинутая влево на 1.
$$y=\log_{\frac13}(x-1)$$
Область определения: $$x-1>0,$$ откуда $$D(y)=(1;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
Производная:
$$y'(x)=\frac{1}{(x-1)\ln \frac13}<0 \quad \text{при } x>1,$$
так как $$\ln \frac13<0.$$
Значит, функция убывает на всей области определения.
Область значений: $$E(y)=(-\infty;+\infty).$$
Пересечение с осью $$Ox$$:
$$\log_{\frac13}(x-1)=0,$$
$$x-1=1,$$
$$x=2.$$
Для построения удобно взять точки:
$$ \begin{array}{c|ccc} x & 2 & 4 & 10 \\ \hline y & 0 & -1 & -2 \end{array} $$
График — убывающая логарифмическая кривая с вертикальной асимптотой $$x=1.$$
Ответ
1) $$D(y)=(-\infty;+\infty), \ E(y)=(1;+\infty),$$ функция возрастает, пересекает ось $$Oy$$ в точке $$\left(0;2\right).$$
2) $$D(y)=(-1;+\infty), \ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция возрастает, пересекает ось $$Oy$$ в точке $$\left(0;0\right).$$
3) $$D(y)=(1;+\infty), \ E(y)=(-\infty;+\infty),$$ функция убывает, пересекает ось $$Ox$$ в точке $$\left(2;0\right).$$
