Упр.1481 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Построить график функции $$y=\frac{5}{x-2}$$. Доказать, что функция убывает на промежутках $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty)$$. В какой точке график функции пересекает ось ординат?

Функция $$y=\frac{5}{x-2}$$ определена при $$x\ne 2.$$ Значит, область определения:

$$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{5}{x-2}\right)’=5\cdot (x-2)^{-1}{}’=-\frac{5}{(x-2)^2}.$$

Так как $$\frac{5}{(x-2)^2}>0$$ при всех $$x\ne 2,$$ то

$$y’=-\frac{5}{(x-2)^2}<0.$$

Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty).$$

Для построения графика отметим асимптоты: $$x=2$$ — вертикальная, $$y=0$$ — горизонтальная. График — гипербола, полученная сдвигом графика $$y=\frac{5}{x}$$ вправо на 2 единицы.

Точка пересечения с осью ординат находится при $$x=0$$:

$$y(0)=\frac{5}{0-2}=-\frac{5}{2}.$$

Значит, график пересекает ось $$Oy$$ в точке $$\left(0;-\frac{5}{2}\right).$$

Ответ: функция убывает на $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty);$$ график пересекает ось ординат в точке $$\left(0;-\frac{5}{2}\right).$$