Упр.1480 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1480 Построить график функции у = корень (25- х2). Указать по графику промежутки монотонности функции. Доказать, что гра фик данной функции симметричен относительно оси Оу. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1480 1111

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{25-x^2}.$$

Найдём область определения:

$$25-x^2\ge 0,$$

$$x^2\le 25,$$

$$-5\le x\le 5.$$

Значит, $$D(y)=[-5;5].$$

Проверим чётность функции:

$$y(-x)=\sqrt{25-(-x)^2}=\sqrt{25-x^2}=y(x).$$

Следовательно, функция чётная, а её график симметричен относительно оси $$Oy.$$

График функции — верхняя полуокружность радиуса $$5$$ с центром в начале координат:

$$x^2+y^2=25,\quad y\ge 0.$$

Опорные точки графика:

$$(-5;0),\ (0;5),\ (5;0),\ (-3;4),\ (3;4),\ (-4;3),\ (4;3).$$

По графику видно, что функция возрастает на промежутке $$[-5;0]$$ и убывает на промежутке $$[0;5].$$

Ответ

График функции $$y=\sqrt{25-x^2}$$ — верхняя полуокружность радиуса $$5$$ с центром в начале координат. Область определения: $$[-5;5].$$ Функция чётная, поэтому график симметричен относительно оси $$Oy.$$ Функция возрастает на $$[-5;0]$$ и убывает на $$[0;5].$$