Упр.1480 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Построить график функции $$y=\sqrt{25-x^2}$$. Указать по графику промежутки монотонности функции. Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси Оу.

Область определения функции найдём из условия существования корня:

$$25-x^2\ge 0,$$

$$x^2\le 25,$$

$$-5\le x\le 5.$$

Значит, $$D(y)=[-5;5].$$

Проверим чётность функции:

$$y(-x)=\sqrt{25-(-x)^2}=\sqrt{25-x^2}=y(x).$$

Следовательно, функция чётная, а её график симметричен относительно оси $$Oy.$$

Для построения графика заметим, что

$$y=\sqrt{25-x^2}\iff x^2+y^2=25,\quad y\ge 0.$$

Это верхняя полуокружность окружности радиуса $$5$$ с центром в начале координат. Она проходит через точки $$(-5;0)$$, $$(0;5)$$, $$(5;0).$$

По графику видно, что функция возрастает на промежутке $$[-5;0]$$ и убывает на промежутке $$[0;5].$$

Ответ: график — верхняя полуокружность окружности $$x^2+y^2=25$$; функция чётная, симметрична относительно оси $$Oy$$; возрастает на $$[-5;0]$$, убывает на $$[0;5].$$