Упр.148 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти корни уравнения:

1. $$\frac{3}{x-1}-\frac{4x-1}{x+1}=\frac{x^2+5}{x^2-1}-5$$
2. $$\frac{x+2}{x-2}-\frac{x(x-4)}{x^2-4}=\frac{x-2}{x+2}-\frac{4(3+x)}{4-x^2}$$

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{3}{x-1}-\frac{4x-1}{x+1}=\frac{x^2+5}{x^2-1}-5.$$

ОДЗ: $$x\neq 1,\; x\neq -1.$$

Приведём левую и правую части к общему знаменателю $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$:

$$\frac{3(x+1)-(4x-1)(x-1)}{x^2-1}=\frac{x^2+5-5(x^2-1)}{x^2-1}.$$

Тогда

$$3x+3-(4x-1)(x-1)=x^2+5-5x^2+5.$$

Раскроем скобки:

$$3x+3-(4x^2-5x+1)=-4x^2+10.$$

$$-4x^2+8x+2=-4x^2+10.$$

$$8x=8,\qquad x=1.$$

Но $$x=1$$ не входит в ОДЗ, значит корней нет.

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{x+2}{x-2}-\frac{x(x-4)}{x^2-4}=\frac{x-2}{x+2}-\frac{4(3+x)}{4-x^2}.$$

ОДЗ: $$x\neq 2,\; x\neq -2.$$

Заметим, что $$x^2-4=(x-2)(x+2)$$ и $$4-x^2=-(x^2-4).$$ Тогда

$$\frac{x+2}{x-2}-\frac{x(x-4)}{x^2-4}-\frac{x-2}{x+2}+\frac{4(3+x)}{x^2-4}=0.$$

Приведём к общему знаменателю $$x^2-4$$:

$$\frac{(x+2)^2-x(x-4)-(x-2)^2+4(3+x)}{x^2-4}=0.$$

Числитель равен

$$x^2+4x+4-x^2+4x-x^2+4x-4+12+4x=-x^2+16x+12.$$

Получаем

$$\frac{-x^2+16x+12}{x^2-4}=0,$$

откуда

$$-x^2+16x+12=0,$$

$$x^2-16x-12=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-16)^2-4\cdot 1\cdot(-12)=256+48=304.$$

$$x=\frac{16\pm\sqrt{304}}{2}=8\pm 2\sqrt{19}.$$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ

1) Корней нет. 2) $$x=8-2\sqrt{19},\; x=8+2\sqrt{19}.$$