Упр.1477 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
а) $$y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x$$;
б) $$y=2\cos 2x+\sin^2 x$$.
1) Преобразуем выражение:
$$y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=2\left(\frac12\sin 2x-\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x\right)=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right).$$
Так как $$-1\le \sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то
$$-2\le 2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\le 2.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=2.$$
2) Преобразуем функцию:
$$y=2\cos 2x+\sin^2 2x=2(\cos^2 x-\sin^2 x)+\sin^2 2x.$$
Используем формулу $$\sin^2 2x=4\sin^2 x\cos^2 x,$$ тогда
$$y=2(\cos^2 x-\sin^2 x)+4\sin^2 x\cos^2 x.$$
Положим $$t=\sin^2 x,$$ тогда $$0\le t\le 1,$$ а $$\cos^2 x=1-t.$$ Получаем:
$$y=2(1-t-t)+4t(1-t)=2-4t+4t-4t^2=2-4t^2.$$
Так как $$0\le t\le 1,$$ то $$0\le t^2\le 1,$$ значит
$$-2\le 2-4t^2\le 2.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=2.$$
Ответ: 1) $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=2$$; 2) $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=2$$.
