Упр.1477 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) у = sin 2х- (корень 3) cos 2х;
2) у = 2 cos 2х + sin2 х.

1. Преобразуем выражение:

   $$y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=2\left(\frac12\sin 2x-\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x\right)=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right).$$

   Так как $$-1\le \sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

   $$-2\le 2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\le 2.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=2.$$

2. Преобразуем выражение:

   $$y=2\cos 2x+\sin^2 x=2(\cos^2 x-\sin^2 x)+\sin^2 x=2\cos^2 x-\sin^2 x.$$

   Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x,$$ получаем

   $$y=2\cos^2 x-(1-\cos^2 x)=3\cos^2 x-1.$$

   Поскольку $$0\le \cos^2 x\le 1,$$ то

   $$-1\le 3\cos^2 x-1\le 2.$$

   Значит, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=2.$$

Ответ

1) $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=2.$$

2) $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=2.$$