Упр.1476 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшее или наименьшее значение функции $$y=ax^2+bx-4$$, если $$y(1)=0$$ и $$y(4)=0$$.

Запишем функцию в виде $$y=ax^2+bx-4.$$

Так как $$y(1)=0$$ и $$y(4)=0,$$ получаем систему:

$$\begin{cases} a+b-4=0,\\ 16a+4b-4=0. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$b=4-a.$$ Подставим во второе:

$$16a+4(4-a)-4=0$$

$$16a+16-4a-4=0$$

$$12a+12=0$$

$$a=-1.$$

Тогда

$$b=4-(-1)=5.$$

Следовательно,

$$y=-x^2+5x-4.$$

Так как $$a=-1<0,$$ парабола ветвями направлена вниз, значит функция имеет наибольшее значение в вершине:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2\cdot(-1)}=\frac{5}{2}.$$

Найдём значение функции в этой точке:

$$y\left(\frac{5}{2}\right)=-\left(\frac{5}{2}\right)^2+5\cdot\frac{5}{2}-4 =-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}-4 =\frac{9}{4}.$$

Ответ: $$\frac{9}{4}.$$