Упр.1476 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1476 Найти наибольшее или наименьшее значение функции у = ах2 + bх — 4, если у (1) = 0 и у (4) = 0. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1476 1111

Подробный ответ

Запишем условия для функции $$y=ax^2+bx-4$$:

$$ \begin{cases} y(1)=0,\\ y(4)=0. \end{cases} $$
Тогда
$$ \begin{cases} a+b-4=0,\\ 16a+4b-4=0. \end{cases} $$
Из первого уравнения получаем $$b=4-a$$. Подставим во второе:
$$ 16a+4(4-a)-4=0 $$
$$ 16a+16-4a-4=0 $$
$$ 12a+12=0 $$
$$ a=-1. $$
Тогда
$$ b=4-(-1)=5. $$
Следовательно,
$$ y=-x^2+5x-4. $$

Так как $$a=-1<0$$, парабола ветвями направлена вниз, значит функция имеет наибольшее значение в вершине.

Найдём абсциссу вершины:
$$ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2\cdot(-1)}=\frac{5}{2}. $$
Вычислим значение функции в этой точке:
$$ y\left(\frac{5}{2}\right)=-\left(\frac{5}{2}\right)^2+5\cdot\frac{5}{2}-4 =-\frac{25}{4}+\frac{25}{2}-4 =\frac{9}{4}. $$