Упр.1469 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Выяснить, пересекаются ли графики функций:

1) $$y=x^2$$ и $$y=x+6$$;
2) $$y=\frac{3}{x}$$ и $$y=4(x+1)$$;
3) $$y=\frac{x^2}{8}$$ и $$y=\frac{1}{x}$$;
4) $$y=2x-1$$ и $$y=\frac{1}{x}$$.

1) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2$$ и $$y=x+6$$:

$$x^2=x+6$$

$$x^2-x-6=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)=1+24=25$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=3$$

Корни есть, значит графики пересекаются.

2) Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac{3}{x}$$ и $$y=4(x+1)$$:

$$\frac{3}{x}=4(x+1)$$

$$3=4x(x+1)$$

$$4x^2+4x-3=0$$

$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64$$

$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{8}$$

$$x_1=-\frac{3}{2},\quad x_2=\frac{1}{2}$$

Корни есть, значит графики пересекаются.

3) Найдём точки пересечения графиков $$y=\frac{1}{8}x^2$$ и $$y=\frac{1}{x}$$:

$$\frac{1}{8}x^2=\frac{1}{x}$$

$$x^3=8$$

$$x=2$$

Значит, графики пересекаются.

4) Найдём точки пересечения графиков $$y=2x-1$$ и $$y=\frac{1}{x}$$:

$$2x-1=\frac{1}{x}$$

$$2x^2-x-1=0$$

$$D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=1+8=9$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 3}{4}$$

$$x_1=-\frac{1}{2},\quad x_2=1$$

Корни есть, значит графики пересекаются.

Ответ: 1) пересекаются; 2) пересекаются; 3) пересекаются; 4) пересекаются.