Упр.1468 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Построить её график и найти значения х, при которых у (х) < 0. 2) Доказать, что функция убывает на отрезке [1; 2]. 3) Найти значение х, при котором функция принимает наибольшее значение. 4) Найти значения х, при которых график данной функции лежит ниже графика функции у - Зх + 2. 5) Записать уравнения касательных к параболе у = -2х2 + Зх + 2 в точках с ординатой, равной 3.

Дана функция $$y=-2x^2+3x+2.$$ Это парабола, ветви которой направлены вниз.

1. Найдём точки пересечения с осями и нули функции:

   $$-2x^2+3x+2=0$$
   $$2x^2-3x-2=0$$
   $$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
   $$x_1=-\frac12,\quad x_2=2.$$

   Значит, $$y(x)<0$$ при

   $$x<-\frac12 \quad \text{или} \quad x>2.$$

2. Найдём производную:

   $$y’=-4x+3.$$

   Функция убывает там, где $$y'<0$$:

   $$-4x+3<0$$
   $$x>\frac34.$$

   Следовательно, на отрезке $$[1;2]$$ функция убывает.

3. Координата вершины параболы:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-2)}=\frac34.$$

   Так как ветви направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в вершине.

   $$y\!\left(\frac34\right)=-2\left(\frac34\right)^2+3\cdot\frac34+2 =-2\cdot\frac{9}{16}+\frac94+2 =\frac{25}{8}.$$

4. Сравним график данной функции с графиком $$y=3x+2$$:

   $$-2x^2+3x+2<3x+2$$
   $$-2x^2<0$$
   $$x^2>0.$$

   Это верно при всех $$x\neq 0.$$

5. Найдём точки параболы с ординатой $$3$$:

   $$-2x^2+3x+2=3$$
   $$2x^2-3x+1=0$$
   $$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=1$$
   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$$
   $$x_1=\frac12,\quad x_2=1.$$

   Производная:

   $$y’=-4x+3.$$

   В точке $$x=\frac12$$:

   $$y’\!\left(\frac12\right)=1,$$
   $$y-3=1\left(x-\frac12\right),$$
   $$y=x+\frac52.$$

   В точке $$x=1$$:

   $$y'(1)=-1,$$
   $$y-3=-1(x-1),$$
   $$y=4-x.$$

Ответ

1) $$y<0$$ при $$x<-\frac12$$ или $$x>2$$.
2) На отрезке $$[1;2]$$ функция убывает.
3) Наибольшее значение равно $$\frac{25}{8}$$ и достигается при $$x=\frac34$$.
4) $$x\neq 0.$$
5) $$y=x+\frac52$$ и $$y=4-x.$$