Упр.1468 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=-2x^2+3x+2$$.
   
   1) Построить её график и найти значения $$x$$, при которых $$y(x)<0$$.
   2) Доказать, что функция убывает на отрезке $$[1;2]$$.
   
   3) Найти значение $$x$$, при котором функция принимает наибольшее значение.
   
   4) Найти значения $$x$$, при которых график данной функции лежит ниже графика функции $$y=3x+2$$.
   
   5) Записать уравнения касательных к параболе $$y=-2x^2+3x+2$$ в точках с ординатой, равной 3.

Функция $$y=-2x^2+3x+2$$ — парабола, ветви которой направлены вниз.

Ход решения

1. Найдём нули функции:

   $$-2x^2+3x+2<0$$

   Решим уравнение $$-2x^2+3x+2=0$$:

   $$2x^2-3x-2=0$$

   $$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16=25$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$

   $$x_1=-\frac12,\qquad x_2=2$$

   Так как ветви параболы направлены вниз, то

   $$y(x)<0 \text{ при } x<-\frac12 \text{ и } x>2.$$

2. Найдём производную:

   $$y’=-4x+3$$

   Функция убывает там, где $$y'<0$$:

   $$-4x+3<0$$

   $$4x>3$$

   $$x>\frac34$$

   Значит, на отрезке $$[1;2]$$ функция убывает.

3. Максимум квадратичной функции достигается в вершине параболы:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-2)}=\frac34$$

   Найдём значение функции в этой точке:

   $$y\!\left(\frac34\right)=-2\left(\frac34\right)^2+3\cdot\frac34+2$$

   $$y\!\left(\frac34\right)=-2\cdot\frac{9}{16}+\frac94+2=\frac{25}{8}$$

   Наибольшее значение функции равно $$\frac{25}{8}$$ и достигается при $$x=\frac34$$.

4. Найдём, при каких $$x$$ график функции $$y=-2x^2+3x+2$$ лежит ниже графика $$y=3x+2$$:

   $$-2x^2+3x+2<3x+2$$

   $$-2x^2<0$$

   $$x^2>0$$

   Следовательно,

   $$x\ne 0.$$

5. Найдём точки параболы с ординатой $$3$$:

   $$-2x^2+3x+2=3$$

   $$2x^2-3x+1=0$$

   $$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=1$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{4}$$

   $$x_1=\frac12,\qquad x_2=1$$

   Производная:

   $$y’=-4x+3$$

   Для точки $$x=\frac12$$:

   $$y’\!\left(\frac12\right)=1$$

   Уравнение касательной:

   $$y-3=1\left(x-\frac12\right)$$

   $$y=x+\frac52$$

   Для точки $$x=1$$:

   $$y'(1)=-1$$

   Уравнение касательной:

   $$y-3=-1(x-1)$$

   $$y=4-x$$

Ответ

1) $$y<0$$ при $$x<-\frac12$$ и $$x>2$$.
2) На отрезке $$[1;2]$$ функция убывает.
3) Наибольшее значение равно $$\frac{25}{8}$$, при $$x=\frac34$$.
4) $$x\ne 0$$.
5) $$y=x+\frac52$$ и $$y=4-x$$.