Упр.1467 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Построить её график и найти значения х, при которых У (x) < 0. 2) Доказать, что функция возрастает на отрезке [1; 4]. 3) Найти значение х, при котором функция принимает наименьшее значение. 4) Найти значения х, при которых график функции у = х2 - 2х - 3 лежит выше графика функции у = —2х + 1. 5) Записать уравнение касательной к параболе у = х2 - 2х - 3 в точке с абсциссой, равной 2.

1. Парабола $$y=x^2-2x-3$$ направлена ветвями вверх. Приведём к виду полного квадрата:

   $$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4.$$

   Значит, вершина параболы имеет координаты $$\left(1;\,-4\right)$$, а нули функции найдём из уравнения

   $$x^2-2x-3=0,$$

   $$\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0,$$

   откуда $$x=-1$$ и $$x=3.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то $$y(x)<0$$ при

   $$-1<x<3.$$

2. Найдём производную:

   $$y’=2x-2=2(x-1).$$

   На отрезке $$[1;4]$$ имеем $$y’\ge 0,$$ значит, функция возрастает на этом отрезке.

3. Так как парабола направлена вверх, наименьшее значение функция принимает в вершине, то есть при

   $$x=1.$$

   Тогда

   $$y(1)=1^2-2\cdot1-3=-4.$$

4. Сравним графики:

   $$x^2-2x-3>-2x+1,$$

   $$x^2-4>0,$$

   $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)>0.$$

   Отсюда

   $$x<-2 \text{ или } x>2.$$

5. Уравнение касательной к графику функции в точке $$x_0=2$$:

   $$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

   Найдём значения:

   $$f'(x)=2x-2,\quad f'(2)=2,$$

   $$f(2)=2^2-2\cdot2-3=-3.$$

   Тогда

   $$y=-3+2(x-2)=2x-7.$$

Ответ

1) $$-1<x<3$$; 2) функция возрастает на $$[1;4]$$; 3) $$x=1$$, $$y_{\min}=-4$$; 4) $$x<-2$$ или $$x>2$$; 5) $$y=2x-7$$.