Упр.1467 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=x^2-2x-3$$.
   1) Построить её график и найти значения $$x$$, при которых $$y(x)<0$$.
   2) Доказать, что функция возрастает на отрезке $$[1;4]$$.
   3) Найти значение $$x$$, при котором функция принимает наименьшее значение.
   4) Найти значения $$x$$, при которых график функции $$y=x^2-2x-3$$ лежит выше графика функции $$y=-2x+1$$.
   5) Записать уравнение касательной к параболе $$y=x^2-2x-3$$ в точке с абсциссой, равной $$2$$.

1) Преобразуем функцию к виду вершины:

$$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-4.$$

Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $$\left(1;\,-4\right).$$

Найдём, при каких $$x$$ функция отрицательна:

$$x^2-2x-3<0$$

$$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16,$$

$$x_{1,2}=\frac{2\pm4}{2},\quad x_1=-1,\; x_2=3.$$

Тогда

$$x^2-2x-3=(x+1)(x-3),$$

и потому

$$-1<x<3.$$

2) Найдём производную:

$$y’=2x-2=2(x-1).$$

На отрезке $$[1;4]$$ имеем $$y’\ge 0,$$ значит, функция возрастает на этом отрезке.

3) Минимум параболы достигается в вершине, то есть при

$$x=1.$$

Наименьшее значение функции:

$$y(1)=1^2-2\cdot1-3=-4.$$

4) Сравним графики:

$$x^2-2x-3>-2x+1$$

$$x^2-4>0$$

$$x^2>4.$$

Следовательно,

$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>2.$$

5) Уравнение касательной в точке с абсциссой $$x_0=2$$:

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

Найдём значения:

$$f'(x)=2x-2,\quad f'(2)=2,$$

$$f(2)=2^2-2\cdot2-3=-3.$$

Тогда

$$y=-3+2(x-2)=2x-7.$$

Ответ

1) $$-1<x<3$$; 2) функция возрастает на $$[1;4]$$; 3) $$x=1$$, $$y_{\min}=-4$$; 4) $$x<-2$$ или $$x>2$$; 5) $$y=2x-7$$.