Упр.1466 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Построить график функции:

1. $$y=2-|x|$$;
2. $$y=|2-x|$$;
3. $$y=|2-x|+|x-3|$$.

Выяснить, пересекает ли график каждой из данных функций прямую $$y=3$$. В случае утвердительного ответа найти координаты точек пересечения.

1) $$y=2-|x|$$

График — V-образная ломаная с вершиной в точке $$\left(0;2\right)$$. Для построения удобно взять несколько точек:

$$x=-2,\ y=0;\qquad x=2,\ y=0.$$

Проверим пересечение с прямой $$y=3$$:

$$2-|x|=3$$

$$-|x|=1$$

$$|x|=-1$$

Решений нет, значит, график прямую $$y=3$$ не пересекает.

2) $$y=|2-x|$$

Вершина графика находится в точке $$\left(2;0\right)$$. Возьмём, например, точки:

$$x=0,\ y=2;\qquad x=4,\ y=2.$$

Найдём точки пересечения с прямой $$y=3$$:

$$|2-x|=3$$

$$2-x=3 \quad \text{или} \quad 2-x=-3$$

$$x=-1 \quad \text{или} \quad x=5.$$

Следовательно, точки пересечения: $$\left(-1;3\right)$$ и $$\left(5;3\right)$$.

3) $$y=|2-x|+|x-3|$$

Рассмотрим по промежуткам:

1. если $$x<2$$, то $$|2-x|=2-x$$ и $$|x-3|=3-x$$, значит $$y=5-2x$$;
2. если $$2\le x<3$$, то $$|2-x|=x-2$$ и $$|x-3|=3-x$$, значит $$y=1$$;
3. если $$x\ge 3$$, то $$|2-x|=x-2$$ и $$|x-3|=x-3$$, значит $$y=2x-5$$.

Проверим пересечение с прямой $$y=3$$:

$$5-2x=3 \Rightarrow x=1,$$

$$1=3$$ — решений нет на промежутке $$2\le x<3$$,

$$2x-5=3 \Rightarrow x=4.$$

Значит, график пересекает прямую $$y=3$$ в точках $$\left(1;3\right)$$ и $$\left(4;3\right)$$.

Ответ: 1) не пересекает; 2) $$\left(-1;3\right)$$, $$\left(5;3\right)$$; 3) $$\left(1;3\right)$$, $$\left(4;3\right)$$.