Упр.1458 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Линейная функция задана формулой $$y=-\frac{3x}{4}+2$$. Найти: 1) точки A и B пересечения её графика с осями координат; 2) длину отрезка AB; 3) расстояние от начала координат до прямой $$y=-\frac{3x}{4}+2$$.

Пусть график функции $$y=-\frac{3}{4}x+2$$ пересекает оси координат в точках $$A$$ и $$B$$.

1) Точки пересечения с осями координат

Точка пересечения с осью $$Ox$$ находится при $$y=0.$$ Тогда

$$-\frac{3}{4}x+2=0,$$

$$-\frac{3}{4}x=-2,$$

$$x=\frac{8}{3}.$$

Значит, $$B\left(\frac{8}{3};0\right).$$

Точка пересечения с осью $$Oy$$ находится при $$x=0.$$ Тогда

$$y=-\frac{3}{4}\cdot 0+2=2.$$

Значит, $$A(0;2).$$

2) Длина отрезка $$AB$$

Найдём по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{\left(\frac{8}{3}-0\right)^2+(0-2)^2}=\sqrt{\frac{64}{9}+4}=\sqrt{\frac{64}{9}+\frac{36}{9}}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}.$$

3) Расстояние от начала координат до прямой

Расстояние от точки $$O(0;0)$$ до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту прямую.

Запишем уравнение прямой в общем виде:

$$y=-\frac{3}{4}x+2 \quad \Longrightarrow \quad 3x+4y-8=0.$$

Тогда расстояние от точки $$O(0;0)$$ до прямой:

$$d=\frac{|3\cdot 0+4\cdot 0-8|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{8}{5}.$$

Ответ: $$A(0;2),\ B\left(\frac{8}{3};0\right),\ AB=\frac{10}{3},\ d=\frac{8}{5}.$$