Упр.1452 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1452 В треугольнике, площадь которого равна 12 см2, середины сторон соединены отрезками. Во вновь полученном треугольнике точно так же образован новый треугольник и т. д. Найти сумму площадей всех получающихся таким построением треугольников. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1452 1111

Подробный ответ

При соединении середин сторон каждый следующий треугольник подобен предыдущему с коэффициентом подобия $$k=\frac{1}{2}.$$

Тогда площади этих треугольников образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$b_1=12$$ и знаменателем

$$q=k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}.$$

Сумма всех площадей равна сумме бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{12}{1-\frac{1}{4}}=\frac{12}{\frac{3}{4}}=16.$$