Упр.1450 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна $$62$$. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый её члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.

Пусть $$x$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_5=xq^4,\quad b_8=xq^7,\quad b_{11}=xq^{10}.$$

Эти члены являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии, значит

$$a_1=xq^4,\quad a_2=xq^7,\quad a_{10}=xq^{10}.$$

Разность арифметической прогрессии:

$$d=a_2-a_1=xq^7-xq^4=xq^4(q^3-1).$$

По формуле десятого члена арифметической прогрессии:

$$a_{10}=a_1+9d,$$

откуда

$$xq^{10}=xq^4+9\bigl(xq^7-xq^4\bigr).$$

После преобразований получаем

$$xq^{10}-9xq^7+8xq^4=0,$$

$$xq^4\bigl(q^6-9q^3+8\bigr)=0.$$

Так как $$x\neq 0$$ и $$q\neq 0$$, то

$$q^6-9q^3+8=0.$$

Положим $$y=q^3$$. Тогда

$$y^2-9y+8=0,$$

$$\bigl(y-1\bigr)\bigl(y-8\bigr)=0,$$

следовательно,

$$y=1 \quad \text{или} \quad y=8.$$

Значит,

$$q^3=1 \quad \text{или} \quad q^3=8,$$

то есть

$$q=1 \quad \text{или} \quad q=2.$$

Используем условие о сумме первых пяти членов геометрической прогрессии:

$$S_5=\frac{x(q^5-1)}{q-1}=62 \quad (q\neq 1).$$

При $$q=2$$ имеем

$$x=\frac{62(2-1)}{2^5-1}=\frac{62}{31}=2.$$

Если $$q=1$$, то все пять первых членов равны $$x$$, и

$$5x=62,$$

откуда

$$x=\frac{62}{5}=12{,}4.$$

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен $$2$$ или $$12{,}4$$.

Ответ

$$2;\ 12{,}4$$