Упр.1448 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если сумма первых трёх её членов равна нулю, а сумма четырёх первых членов равна 1.

Обозначим первый член арифметической прогрессии через $$a_1$$, а разность — через $$d$$.

Из условия сумма первых трёх членов равна нулю:

$$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=0,$$

откуда

$$3a_1+3d=0,$$

$$a_1+d=0,$$

$$a_1=-d.$$

Сумма первых четырёх членов равна $$1$$:

$$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+(a_1+3d)=1,$$

то есть

$$4a_1+6d=1.$$

Подставим $$a_1=-d$$:

$$4(-d)+6d=1,$$

$$2d=1,$$

$$d=\frac12.$$

Тогда

$$a_1=-\frac12.$$

Найдём сумму первых двенадцати членов:

$$S_{12}=\frac{2a_1+d(12-1)}{2}\cdot 12.$$

Подставим найденные значения:

$$S_{12}=\frac{2\cdot\left(-\frac12\right)+\frac12\cdot 11}{2}\cdot 12=\frac{-1+\frac{11}{2}}{2}\cdot 12=\frac{\frac92}{2}\cdot 12=\frac94\cdot 12=27.$$

Ответ: $$27$$.