Упр.1447 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1447 Найти четыре числа, являющиеся последовательными членами геометрической прогрессии, если третье число больше первого на 9, а второе больше четвёртого на 18. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1447 1111

Пусть четыре числа образуют геометрическую прогрессию с первым членом $$b_1$$ и знаменателем $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию третье число больше первого на 9:

$$b_3-b_1=9,$$

то есть

$$b_1q^2-b_1=9,$$

$$b_1(q^2-1)=9,$$

$$b_1=\frac{9}{q^2-1}.$$

Также второе число больше четвёртого на 18:

$$b_2-b_4=18,$$

то есть

$$b_1q-b_1q^3=18,$$

$$b_1(q-q^3)=18,$$

$$b_1=\frac{18}{q-q^3}.$$

Приравняем выражения для $$b_1$$:

$$\frac{9}{q^2-1}=\frac{18}{q-q^3}.$$

Тогда

$$9(q-q^3)=18(q^2-1),$$

$$q-q^3=2q^2-2,$$

$$q^3+2q^2-q-2=0,$$

$$q^2(q+2)-(q+2)=0,$$

$$ (q+2)(q^2-1)=0,$$

$$ (q+2)(q-1)(q+1)=0.$$

Но $$q=\pm 1$$ не подходит, так как тогда $$q^2-1=0$$ и выражение для $$b_1$$ не имеет смысла. Значит,

$$q=-2.$$

Найдём первый член:

$$b_1=\frac{9}{(-2)^2-1}=\frac{9}{4-1}=3.$$

Тогда

$$b_2=3\cdot(-2)=-6,$$

$$b_3=-6\cdot(-2)=12,$$

$$b_4=12\cdot(-2)=-24.$$

Ответ

$$3;\,-6;\,12;\,-24.$$