Упр.1431 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

sinxcosy=-1/2,
tgxctgy=1;
2) система
sinxsiny=1/4,
3tgx=ctgy.

1. $$ \begin{cases} \sin x \cos y=-\dfrac12,\\ \tg x \ctg y=1 \end{cases} $$

   Так как $$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$$ и $$\ctg y=\dfrac{\cos y}{\sin y},$$ то

   $$ \dfrac{\sin x}{\cos x}\cdot \dfrac{\cos y}{\sin y}=1 \Rightarrow \sin x\cos y=\cos x\sin y. $$

   Из первого уравнения системы получаем $$\sin x\cos y=-\dfrac12,$$ значит

   $$ \cos x\sin y=-\dfrac12. $$

   Тогда

   $$ \sin x\cos y-\cos x\sin y=0 \Rightarrow \sin(x-y)=0. $$

   Следовательно,

   $$ x-y=\pi n,\quad n\in \mathbb Z, $$

   то есть $$x=\pi n+y.$$ Подставим в первое уравнение:

   $$ \sin(\pi n+y)\cos y=-\dfrac12. $$

   При чётном $$n$$ получаем $$\sin y\cos y=-\dfrac12,$$ а при нечётном $$n$$ — $$-\sin y\cos y=-\dfrac12,$$ то есть $$\sin y\cos y=\dfrac12.$$ В обоих случаях удобно записать через $$\sin 2y$$:

   $$ \sin 2y=\pm 1. $$

   Отсюда

   $$ 2y=\pm \dfrac{\pi}{2}+2\pi m,\quad m\in \mathbb Z, $$

   $$ y=\pm \dfrac{\pi}{4}+\pi m. $$

   Тогда

   $$ x=\pi n+y=\pm \dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m). $$

2. $$ \begin{cases} \sin x\sin y=\dfrac14,\\ 3\tg x=\ctg y \end{cases} $$

   Из второго уравнения:

   $$ 3\cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos y}{\sin y} \Rightarrow 3\sin x\sin y=\cos x\cos y. $$

   Так как $$\sin x\sin y=\dfrac14,$$ то

   $$ \cos x\cos y=\dfrac34. $$

   Тогда

   $$ \cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y=\dfrac34-\dfrac14=\dfrac12. $$

   Следовательно,

   $$ x+y=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z. $$

   Кроме того,

   $$ \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y=\dfrac34+\dfrac14=1, $$

   значит

   $$ x-y=2\pi m,\quad m\in \mathbb Z. $$

   Решая систему
   $$ \begin{cases} x+y=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi n,\\ x-y=2\pi m, \end{cases} $$
   получаем

   $$ x=\pm \dfrac{\pi}{6}+\pi(n+m),\qquad y=\pm \dfrac{\pi}{6}+\pi(n-m), $$

   где знаки в обеих формулах одинаковы.

Ответ

1) $$\left(\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m);\ \dfrac{\pi}{4}+\pi m\right),\ \left(-\dfrac{\pi}{4}+\pi(n+m);\ -\dfrac{\pi}{4}+\pi m\right),\ n,m\in\mathbb Z.$$

2) $$\left(\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+m);\ \dfrac{\pi}{6}+\pi(n-m)\right),\ \left(-\dfrac{\pi}{6}+\pi(n+m);\ -\dfrac{\pi}{6}+\pi(n-m)\right),\ n,m\in\mathbb Z.$$