Упр.1430 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Система $$\begin{cases}\sin x+\cos y=1,\\ \sin^2 x+2\sin x\cos y=\frac{3}{4}.\end{cases}$$
- Система $$\begin{cases}\sin x+\sin y=\frac{1}{2},\\ \cos^2 x+2\sin x\sin y+4\cos^2 y=4.\end{cases}$$
1) Из первого уравнения выразим $$\cos y$$:
$$\cos y=1-\sin x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sin^2 x+2\sin x(1-\sin x)=\frac34.$$
Тогда
$$\sin^2 x+2\sin x-2\sin^2 x-\frac34=0,$$
$$4\sin^2 x-8\sin x+3=0.$$
Пусть $$a=\sin x$$. Тогда
$$4a^2-8a+3=0.$$
$$D=(-8)^2-4\cdot 4\cdot 3=64-48=16,$$
$$a_{1,2}=\frac{8\pm 4}{2\cdot 4}.$$
Получаем:
$$a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac32.$$
Так как $$|\sin x|\le 1,$$ то $$\sin x=\frac12.$$
Тогда
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$
Из $$\cos y=1-\sin x$$ имеем
$$\cos y=1-\frac12=\frac12,$$
откуда
$$y=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi m,\qquad m\in\mathbb Z.$$
Второй корень $$\sin x=\frac32$$ не подходит.
2) Из первого уравнения выразим $$\sin x$$:
$$\sin x=\frac12-\sin y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\cos^2 x+2\sin x\sin y+4\cos^2 y=4.$$
Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$ и $$\cos^2 y=1-\sin^2 y,$$ получаем
$$1-\left(\frac12-\sin y\right)^2+2\left(\frac12-\sin y\right)\sin y+4(1-\sin^2 y)=4.$$
После упрощения:
$$28\sin^2 y-8\sin y-3=0.$$
Пусть $$a=\sin y$$. Тогда
$$28a^2-8a-3=0.$$
$$D=(-8)^2-4\cdot 28\cdot(-3)=64+336=400,$$
$$a_{1,2}=\frac{8\pm 20}{56}.$$
Получаем:
$$a_1=\frac12,\qquad a_2=-\frac{3}{14}.$$
1. Если $$\sin y=\frac12,$$ то
$$y=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$
а
$$\sin x=\frac12-\frac12=0,$$
значит
$$x=\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
2. Если $$\sin y=-\frac{3}{14},$$ то
$$y=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{3}{14}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z,$$
а
$$\sin x=\frac12+\frac{3}{14}=\frac57,$$
значит
$$x=(-1)^k\arcsin\frac57+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$\left((-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n;\ \pm\frac{\pi}{3}+2\pi m\right),\quad n,m\in\mathbb Z.$$
2) $$\left(\pi k;\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n\right),\ \left((-1)^k\arcsin\frac57+\pi k;\ (-1)^{n+1}\arcsin\frac{3}{14}+\pi n\right),\quad n,k\in\mathbb Z.$$
