Упр.143 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) (x+3)/(2+x2) < 3; 2) (x-2)/(5-x) > 1.

1) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x+3}{2+x^2}<3.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{x+3}{2+x^2}-3<0,$$

$$\frac{x+3-3(2+x^2)}{2+x^2}<0,$$

$$\frac{-3x^2+x-3}{2+x^2}<0,$$

$$\frac{3x^2-x+3}{2+x^2}>0.$$

Так как $$2+x^2>0$$ при любом $$x$$, достаточно исследовать числитель:

$$3x^2-x+3>0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot 3=1-36=-35<0.$$

Так как старший коэффициент положительный, то $$3x^2-x+3>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Следовательно, исходное неравенство верно при любом действительном $$x$$.

2) Решим неравенство

$$\frac{x-2}{5-x}>1.$$

Перенесём единицу влево:

$$\frac{x-2}{5-x}-1>0,$$

$$\frac{x-2-(5-x)}{5-x}>0,$$

$$\frac{2x-7}{5-x}>0.$$

Критические точки: $$x=\frac{7}{2}$$ и $$x=5$$, причём $$x\neq 5$$.

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Получаем:

$$\frac{7}{2}<x<5.$$

Ответ

1) $$x\in \mathbb{R}$$; 2) $$\frac{7}{2}<x<5$$.