Упр.143 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить неравенство: 1) $$\frac{x+3}{2+x^2}<3$$; 2) $$\frac{x-2}{5-x}>1$$.

1) $$\frac{x+3}{2+x^2}<3$$

Перенесём $$3$$ в левую часть:

$$\frac{x+3}{2+x^2}-3<0$$

$$\frac{x+3-3(2+x^2)}{2+x^2}<0$$

$$\frac{-3x^2+x-3}{2+x^2}<0$$

$$\frac{3x^2-x+3}{2+x^2}>0$$

Так как $$2+x^2>0$$ при любом $$x$$, достаточно решить неравенство

$$3x^2-x+3>0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot 3=1-36=-35<0.$$

Коэффициент при $$x^2$$ положительный, значит $$3x^2-x+3>0$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Следовательно, первое неравенство верно при любом действительном $$x$$.

2) $$\frac{x-2}{5-x}>1$$

Перенесём $$1$$ в левую часть:

$$\frac{x-2}{5-x}-1>0$$

$$\frac{x-2-(5-x)}{5-x}>0$$

$$\frac{2x-7}{5-x}>0.$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

1. $$2x-7>0,\quad 5-x>0,$$ откуда $$x>\frac{7}{2}$$ и $$x<5$$, то есть $$\frac{7}{2}<x<5$$;
2. $$2x-7<0,\quad 5-x<0,$$ откуда $$x<\frac{7}{2}$$ и $$x>5$$ — решений нет.

Значит,

$$\frac{7}{2}<x<5.$$

Ответ: 1) $$x\in \mathbb{R}$$; 2) $$\frac{7}{2}<x<5$$.