Упр.1429 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}\sqrt{x+y-1}=1,\\\sqrt{x-y+2}=2y-2.\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}\sqrt{3y+x+1}=2,\\\sqrt{2x-y+2}=7y-6.\end{cases}$$

1) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} \sqrt{x+y-1}=1,\\ \sqrt{x-y+2}=2y-2. \end{cases}$$

Возведём уравнения в квадрат:

$$\begin{cases} x+y-1=1,\\ x-y+2=(2y-2)^2. \end{cases}$$

Тогда

$$\begin{cases} x=2-y,\\ x-y+2=4y^2-8y+4. \end{cases}$$

Подставим $$x=2-y$$ во второе уравнение:

$$2-y-y+2=4y^2-8y+4,$$

$$4y^2-6y=0,$$

$$2y(2y-3)=0.$$

Отсюда $$y=0$$ или $$y=\frac{3}{2}$$.

Найдём $$x$$:

$$x=2-y.$$

Если $$y=0$$, то $$x=2$$. Если $$y=\frac{3}{2}$$, то $$x=\frac{1}{2}$$.

Проверим область допустимых значений:

$$x+y-1\ge 0,\qquad x-y+2\ge 0,\qquad 2y-2\ge 0.$$

Из последнего неравенства получаем $$y\ge 1$$, значит пара $$\left(2,0\right)$$ не подходит. Остаётся

$$\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).$$

2) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} \sqrt{3y+x+1}=2,\\ \sqrt{2x-y+2}=7y-6. \end{cases}$$

Возведём в квадрат:

$$\begin{cases} 3y+x+1=4,\\ 2x-y+2=(7y-6)^2. \end{cases}$$

Из первого уравнения:

$$x=3-3y.$$

Подставим во второе:

$$2(3-3y)-y+2=49y^2-84y+36,$$

$$6-6y-y+2=49y^2-84y+36,$$

$$49y^2-77y+28=0.$$

Найдём корни:

$$D=77^2-4\cdot 49\cdot 28=441,$$

$$y=\frac{77\pm 21}{98}.$$

Получаем:

$$y_1=1,\qquad y_2=\frac{4}{7}.$$

Тогда

$$x_1=3-3\cdot 1=0,\qquad x_2=3-3\cdot \frac{4}{7}=\frac{9}{7}.$$

Проверим ОДЗ и второе уравнение:

$$7y-6\ge 0 \Rightarrow y\ge \frac{6}{7}.$$

Значит $$y=\frac{4}{7}$$ не подходит, а $$y=1$$ подходит. Тогда $$x=0$$.

Итак, решение системы:

$$(0;1).$$

Ответ

1) $$\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$$; 2) $$\left(0;1\right)$$.