Упр.1427 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}\log_4(x)-\log_2(y)=0,\\x^2-5y^2+4=0;\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}x^2+y^4=16,\\\log_2(x)+2\log_2(y)=3.\end{cases}$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \log_4 x-\log_2 y=0,\\ x^2-5y^2+4=0. \end{cases}$$

Преобразуем первое уравнение:

$$\log_4 x=\frac12\log_2 x,$$

тогда

$$\frac12\log_2 x-\log_2 y=0,$$

$$\log_2 x-2\log_2 y=0,$$

$$\log_2 x-\log_2 y^2=0,$$

$$\log_2 \frac{x}{y^2}=0.$$

Отсюда

$$\frac{x}{y^2}=1,\quad x=y^2.$$

Подставим во второе уравнение:

$$y^4-5y^2+4=0.$$

Обозначим $$t=y^2$$. Тогда

$$t^2-5t+4=0,$$

$$(t-1)(t-4)=0.$$

Следовательно,

$$t=1 \text{ или } t=4.$$

Так как $$t=y^2$$ и по области определения $$y>0$$, получаем:

$$y=1 \text{ или } y=2.$$

Тогда

$$x=y^2=1 \text{ или } 4.$$

Проверка даёт пары $$(1;1)$$ и $$(4;2)$$.

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} x^2+y^4=16,\\ \log_2 x+2\log_2 y=3. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$\log_2 x+\log_2 y^2=3,$$

$$\log_2(xy^2)=3,$$

$$xy^2=8.$$

Тогда

$$x=\frac{8}{y^2}.$$

Подставим в первое уравнение:

$$\left(\frac{8}{y^2}\right)^2+y^4=16,$$

$$\frac{64}{y^4}+y^4=16.$$

Умножим на $$y^4$$:

$$64+y^8=16y^4,$$

$$y^8-16y^4+64=0,$$

$$(y^4-8)^2=0.$$

Значит,

$$y^4=8,\quad y=\sqrt[4]{8}.$$

Тогда

$$x=\frac{8}{y^2}=\frac{8}{\sqrt{8}}=\sqrt{8}.$$

С учётом области определения $$x>0$$, $$y>0$$ получаем решение:

$$(\sqrt{8};\sqrt[4]{8}).$$

Ответ

1) $$(1;1),\ (4;2)$$; 2) $$(\sqrt{8};\sqrt[4]{8})$$.