Упр.1425 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

x/y — y/x = 3/2,
x2+y2=20;
2) система
y/x+x/y = 3*1/3,
x2-y2=8;
3) система
x2=13x+4y,
y2=4x+13y;
4)система
3×2+y2-4x=40,
2×2+y2+3x=52.

Подробный ответ

Положим $$\frac{x}{y}=t.$$ Тогда из первого уравнения получаем
$$t-\frac{1}{t}=\frac{3}{2}.$$
Умножим на $$2t$$:
$$2t^2-3t-2=0.$$
$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=25,$$
$$t_1=2,\quad t_2=-\frac{1}{2}.$$
1) Если $$\frac{x}{y}=2,$$ то $$x=2y.$$ Подставим во второе уравнение:
$$ (2y)^2+y^2=20, $$
$$5y^2=20,\quad y^2=4,\quad y=\pm 2.$$
Тогда $$x=\pm 4.$$ Получаем точки $$ (4;2),\ (-4;-2). $$
2) Если $$\frac{x}{y}=-\frac{1}{2},$$ то $$x=-\frac{1}{2}y.$$ Подставим:
$$ \left(-\frac{1}{2}y\right)^2+y^2=20, $$
$$\frac{1}{4}y^2+y^2=20,\quad \frac{5}{4}y^2=20,\quad y^2=16,\quad y=\pm 4.$$
Тогда $$x=\mp 2.$$ Получаем точки $$ (2;-4),\ (-2;4). $$
Положим $$\frac{y}{x}=t.$$ Тогда
$$t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3}.$$
Умножим на $$3t$$:
$$3t^2-10t+3=0.$$
$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$
$$t_1=3,\quad t_2=\frac{1}{3}.$$
1) Если $$\frac{y}{x}=3,$$ то $$y=3x.$$ Подставим во второе уравнение:
$$x^2-9x^2=8,$$
$$-8x^2=8,$$
действительных решений нет.
2) Если $$\frac{y}{x}=\frac{1}{3},$$ то $$x=3y.$$ Тогда
$$9y^2-y^2=8,$$
$$8y^2=8,\quad y^2=1,\quad y=\pm 1.$$
Следовательно, $$x=\pm 3.$$ Получаем точки $$ (3;1),\ (-3;-1). $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$x^2-y^2=9x-9y,$$
$$ (x-y)(x+y)=9(x-y), $$
$$ (x-y)(x+y-9)=0. $$
1) Если $$x-y=0,$$ то $$x=y.$$ Подставим во второе уравнение:
$$y^2=4y+13y,$$
$$y^2-17y=0,$$
$$y(y-17)=0.$$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=17,$$ значит $$x=0$$ или $$x=17.$$
Получаем точки $$ (0;0),\ (17;17). $$
2) Если $$x+y-9=0,$$ то $$x=9-y.$$ Подставим во второе уравнение:
$$y^2=4(9-y)+13y,$$
$$y^2-9y-36=0.$$
$$D=9^2+4\cdot 36=225,$$
$$y_1=-3,\quad y_2=12.$$
Тогда $$x=12$$ или $$x=-3.$$ Получаем точки $$ (12;-3),\ (-3;12). $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$x^2-7x+12=0.$$
$$D=7^2-4\cdot 12=1,$$
$$x_1=3,\quad x_2=4.$$
1) Если $$x=3,$$ то
$$3\cdot 3^2+y^2-4\cdot 3=40,$$
$$y^2=25,\quad y=\pm 5.$$
Получаем точки $$ (3;5),\ (3;-5). $$
2) Если $$x=4,$$ то
$$3\cdot 4^2+y^2-4\cdot 4=40,$$
$$y^2=8,\quad y=\pm 2\sqrt{2}.$$
Получаем точки $$ (4;2\sqrt{2}),\ (4;-2\sqrt{2}). $$