Упр.1425 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{2},\\x^2+y^2=20.\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=3\dfrac{1}{3},\\x^2-y^2=8.\end{cases}$$
3. $$\begin{cases}x^2=13x+4y,\\y^2=4x+13y.\end{cases}$$
4. $$\begin{cases}3x^2+y^2-4x=40,\\2x^2+y^2+3x=52.\end{cases}$$

1) Обозначим $$z=\frac{x}{y}.$$ Тогда из первого уравнения получаем

$$z-\frac{1}{z}=\frac{3}{2}.$$

Умножим на $$2z$$:

$$2z^2-3z-2=0.$$

$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=25,$$

$$z_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad z_2=\frac{3+5}{4}=2.$$

Если $$\frac{x}{y}=-\frac12,$$ то $$x=-\frac12y.$$ Подставим во второе уравнение:

$$\left(-\frac12y\right)^2+y^2=20,$$

$$\frac14y^2+y^2=20,$$

$$\frac54y^2=20,\qquad y^2=16,\qquad y=\pm 4.$$

Тогда $$x=-\frac12y,$$ откуда получаем точки $$(-2;4)$$ и $$(2;-4).$$

Если $$\frac{x}{y}=2,$$ то $$x=2y.$$ Подставим:

$$(2y)^2+y^2=20,$$

$$5y^2=20,\qquad y^2=4,\qquad y=\pm 2.$$

Тогда $$x=2y,$$ откуда получаем точки $$(4;2)$$ и $$(-4;-2).$$

Ответ: $$(-2;4),\ (2;-4),\ (-4;-2),\ (4;2).$$

2) Обозначим $$z=\frac{x}{y}.$$ Тогда

$$z+\frac{1}{z}=3\frac13=\frac{10}{3}.$$

Умножим на $$3z$$:

$$3z^2-10z+3=0.$$

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$

$$z_1=3,\qquad z_2=\frac13.$$

Если $$\frac{x}{y}=3,$$ то $$x=3y.$$ Подставим во второе уравнение:

$$x^2-y^2=8 \;\Rightarrow\; 9y^2-y^2=8,$$

$$8y^2=8,\qquad y^2=1,\qquad y=\pm 1.$$

Тогда $$x=3y,$$ откуда получаем точки $$(-3;-1)$$ и $$(3;1).$$

Если $$\frac{x}{y}=\frac13,$$ то $$x=\frac13y.$$ Подстановка даёт

$$\frac19y^2-y^2=8,$$

$$-\frac89y^2=8,$$

что невозможно в действительных числах.

Ответ: $$(-3;-1),\ (3;1).$$

3) Вычтем из первого уравнения второе:

$$x^2-y^2=9x-9y,$$

$$(x-y)(x+y)=9(x-y),$$

$$(x-y)(x+y-9)=0.$$

Рассмотрим два случая.

1. $$x-y=0,$$ то есть $$x=y.$$ Тогда

$$x^2=13x+4x,$$

$$x^2-17x=0,$$

$$x(x-17)=0.$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=17,$$ значит получаем точки $$(0;0)$$ и $$(17;17).$$

2. $$x+y-9=0,$$ то есть $$x=9-y.$$ Подставим во второе уравнение:

$$y^2=4(9-y)+13y,$$

$$y^2-9y-36=0.$$

$$D=9^2+4\cdot 36=225,$$

$$y_1=-3,\qquad y_2=12.$$

Тогда соответственно $$x=12$$ и $$x=-3.$$ Получаем точки $$(12;-3)$$ и $$(-3;12).$$

Ответ: $$(0;0),\ (17;17),\ (12;-3),\ (-3;12).$$

4) Вычтем из первого уравнения второе:

$$3x^2+y^2-4x-(2x^2+y^2+3x)=40-52,$$

$$x^2-7x=-12,$$

$$x^2-7x+12=0.$$

$$D=7^2-4\cdot 12=1,$$

$$x_1=3,\qquad x_2=4.$$

Если $$x=3,$$ то из второго уравнения:

$$2\cdot 3^2+y^2+3\cdot 3=52,$$

$$18+y^2+9=52,$$

$$y^2=25,\qquad y=\pm 5.$$

Получаем точки $$(3;-5)$$ и $$(3;5).$$

Если $$x=4,$$ то

$$2\cdot 4^2+y^2+3\cdot 4=52,$$

$$32+y^2+12=52,$$

$$y^2=8,\qquad y=\pm 2\sqrt2.$$

Получаем точки $$(4;-2\sqrt2)$$ и $$(4;2\sqrt2).$$

Ответ: $$(3;-5),\ (3;5),\ (4;-2\sqrt2),\ (4;2\sqrt2).$$