Упр.1423 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 1423. Найти действительные:
1) $$\begin{cases} y+5=x^2, \\ x^2+y^2=23; \end{cases}$$
2) $$\begin{cases} xy=16, \\ \frac{x}{y}=4; \end{cases}$$
3) $$\begin{cases} x^2+2y^2=96, \\ x=2y. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=x^2-5.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+(x^2-5)^2=25.$$
Раскроем скобки и упростим:
$$x^2+x^4-10x^2+25=25,$$
$$x^4-9x^2=0,$$
$$x^2(x^2-9)=0,$$
$$x^2(x-3)(x+3)=0.$$
Отсюда $$x=0$$, $$x=3$$ или $$x=-3$$.
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$x=0 \Rightarrow y=0^2-5=-5,$$
$$x=3 \Rightarrow y=3^2-5=4,$$
$$x=-3 \Rightarrow y=(-3)^2-5=4.$$
Получаем решения: $$\left(0;-5\right),\ \left(3;4\right),\ \left(-3;4\right).$$
Из второго уравнения выразим $$x$$:
$$x=4y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$4y^2=16.$$
Тогда
$$y^2=4,\quad y=\pm 2.$$
Найдём $$x$$:
$$x=4y,$$
при $$y=2$$ получаем $$x=8$$, при $$y=-2$$ получаем $$x=-8$$.
Ответ: $$\left(8;2\right),\ \left(-8;-2\right).$$
Из второго уравнения выразим $$x$$:
$$x=2y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\left(2y\right)^2+2y^2=96.$$
Упростим:
$$4y^2+2y^2=96,$$
$$6y^2=96,$$
$$y^2=16,$$
$$y=\pm 4.$$
Тогда
$$x=2y,$$
при $$y=4$$ получаем $$x=8$$, при $$y=-4$$ получаем $$x=-8$$.
Ответ: $$\left(8;4\right),\ \left(-8;-4\right).$$
