Упр.142 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) x/(x+1) + 2x/(x-1) = 4x/(x2-1);
2) (x-1)/(x-2) — 2/x = 1/(x-2);
3) (x-3)(x-5) = 3(x-5);
4) (x-2)(x2+1)= 2(x2+1).

1. $$\frac{x}{x+1}+\frac{2x}{x-1}=\frac{4x}{x^2-1}$$

   ОДЗ: $$x\neq -1,\; x\neq 1.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{x(x-1)+2x(x+1)}{x^2-1}=\frac{4x}{x^2-1}$$

   $$x(x-1)+2x(x+1)-4x=0$$

   $$x^2-x+2x^2+2x-4x=0$$

   $$3x^2-3x=0$$

   $$3x(x-1)=0$$

   Отсюда $$x=0$$ или $$x=1$$. Значение $$x=1$$ не подходит по ОДЗ, значит:

   $$x=0.$$

2. $$\frac{x-1}{x-2}-\frac{2}{x}=\frac{1}{x-2}$$

   ОДЗ: $$x\neq 0,\; x\neq 2.$$

   Перенесём всё в одну часть:

   $$\frac{x-1}{x-2}-\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x}=0$$

   $$\frac{x-2}{x-2}-\frac{2}{x}=0$$

   $$1-\frac{2}{x}=0$$

   $$\frac{x-2}{x}=0$$

   Числитель равен нулю:

   $$x-2=0,\quad x=2.$$

   Но $$x=2$$ не входит в ОДЗ, значит корней нет.

3. $$\left(x-3\right)\left(x-5\right)=3\left(x-5\right)$$

   Перенесём всё в одну часть:

   $$\left(x-3\right)\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)=0$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\left(x-5\right)\left(x-3-3\right)=0$$

   $$\left(x-5\right)\left(x-6\right)=0$$

   Отсюда:

   $$x=5 \quad \text{или} \quad x=6.$$

4. $$\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)=2\left(x^2+1\right)$$

   Перенесём всё в одну часть:

   $$\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)-2\left(x^2+1\right)=0$$

   Вынесем общий множитель:

   $$\left(x^2+1\right)\left(x-2-2\right)=0$$

   $$\left(x^2+1\right)\left(x-4\right)=0$$

   Так как $$x^2+1>0$$ при любом действительном $$x$$, то:

   $$x-4=0,\quad x=4.$$

Ответ

1) $$x=0$$; 2) корней нет; 3) $$x=5,\;6$$; 4) $$x=4$$.