Упр.1419 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$(a+b)(ab+1)>4ab,\quad \text{если } a>0,\ b>0;$$
2. $$a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2),\quad \text{если } a\ne b.$$

1) Рассмотрим выражение $$(a+b)(ab+1)-4ab.$$

Так как $$a>0,\quad b>0,$$ положим $$y=ab.$$ Тогда

$$\left(\frac{y}{b}+b\right)(y+1)-4y \ge 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{y^2+yb+b^2y+b-4by}{b}\ge 0,$$

$$\frac{y^2-2by+b^2+y(1-2b+b^2)}{b}\ge 0,$$

$$\frac{(y-b)^2+y(1-b)^2}{b}\ge 0.$$

Возвращаясь к переменной $$y=ab,$$ получаем

$$\frac{(ab-b)^2+ab(1-b)^2}{b}\ge 0.$$

Так как $$b>0,$$ а также $$(ab-b)^2\ge 0$$ и $$ab(1-b)^2\ge 0,$$ то неравенство верно.

2) Рассмотрим выражение

$$a^4+6a^2b^2+b^4-4ab(a^2+b^2).$$

Преобразуем его:

$$a^4+6a^2b^2+b^4-4ab(a^2+b^2)$$
$$=(a^4+2a^2b^2+b^4)+4a^2b^2-4ab(a^2+b^2)$$
$$=(a^2+b^2)^2-4ab(a^2+b^2)+4a^2b^2$$
$$=(a^2+b^2-2ab)^2$$
$$=(a-b)^4.$$

Так как по условию $$a\ne b,$$ то $$(a-b)^4>0.$$ Следовательно,

$$a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2).$$

Ответ

1) $$(a+b)(ab+1)\ge 4ab;$$ 2) $$a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2).$$