Упр.1418 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1418

1. Докажем неравенство

   $$ab \le \frac{a^2+b^2}{2}.$$

   Рассмотрим очевидное неравенство

   $$\left(a-b\right)^2 \ge 0.$$

   Раскроем скобки:

   $$a^2-2ab+b^2 \ge 0.$$

   Отсюда

   $$a^2+b^2 \ge 2ab,$$

   значит,

   $$\frac{a^2+b^2}{2} \ge ab.$$

2. Докажем неравенство

   $$\frac{a^3+b^3}{2} > \left(\frac{a+b}{2}\right)^3,$$

   если $$a>0,\ b>0,\ a\ne b.$$

   Преобразуем разность левой и правой частей:

   $$ \frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 =\frac{4a^3+4b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3}{8} $$

   $$ =\frac{3a^3+3b^3-3a^2b-3ab^2}{8} =\frac{3\left(a^3+b^3-ab(a+b)\right)}{8}. $$

   Сгруппируем выражение в скобках:

   $$ a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a^2-2ab+b^2)=(a+b)(a-b)^2. $$

   Тогда

   $$ \frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 =\frac{3(a+b)(a-b)^2}{8}. $$

   Так как $$a>0,\ b>0,$$ то $$a+b>0,$$ а при $$a\ne b$$ имеем $$\left(a-b\right)^2>0.$$ Следовательно,

   $$\frac{3(a+b)(a-b)^2}{8}>0,$$

   то есть

   $$\frac{a^3+b^3}{2}>\left(\frac{a+b}{2}\right)^3.$$

Ответ

1) $$ab \le \frac{a^2+b^2}{2}.$$

2) $$\frac{a^3+b^3}{2} > \left(\frac{a+b}{2}\right)^3$$ при $$a>0,\ b>0,\ a\ne b.$$