Упр.1418 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать неравенство (1418—1420).

1) Рассмотрим неравенство

$$ab \le \frac{a^2+b^2}{2}.$$

Из очевидного неравенства

$$\left(a-b\right)^2 \ge 0$$

получаем

$$a^2-2ab+b^2 \ge 0,$$

откуда

$$a^2+b^2 \ge 2ab,$$

$$\frac{a^2+b^2}{2} \ge ab.$$

Что и требовалось доказать.

2) Докажем неравенство

$$\frac{a^3+b^3}{2} > \left(\frac{a+b}{2}\right)^3,$$

если $$a>0,\ b>0,\ a\ne b.$$

Преобразуем разность левой и правой частей:

$$\frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 = \frac{4a^3+4b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3}{8}$$

$$= \frac{3a^3+3b^3-3a^2b-3ab^2}{8} = \frac{3\left(a^3+b^3-ab(a+b)\right)}{8}.$$

Так как

$$a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a^2-2ab+b^2)=(a+b)(a-b)^2,$$

то

$$\frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 = \frac{3(a+b)(a-b)^2}{8}.$$

При $$a>0,\ b>0,\ a\ne b$$ имеем $$a+b>0$$ и $$\left(a-b\right)^2>0,$$ значит

$$\frac{3(a+b)(a-b)^2}{8} > 0.$$

Следовательно,

$$\frac{a^3+b^3}{2} > \left(\frac{a+b}{2}\right)^3.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

1) $$ab \le \frac{a^2+b^2}{2}.$$
2) $$\frac{a^3+b^3}{2} > \left(\frac{a+b}{2}\right)^3.$$