Упр.1415 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\cos(-3x)\ge\frac{\sqrt{3}}{2}$$
2. $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)<-\frac{1}{2}$$

1) $$\cos(-3x)\ge \frac{\sqrt3}{2}$$

Так как $$\cos(-3x)=\cos 3x,$$ получаем

$$\cos 3x\ge \frac{\sqrt3}{2}.$$

Для косинуса это означает:

$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Делим все части неравенства на $$3$$:

$$-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)<-\frac12$$

Пусть $$2x-\frac{\pi}{3}=y.$$ Тогда

$$\cos y<-\frac12.$$

Отсюда

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<y<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<2x-\frac{\pi}{3}<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,$$

$$\pi+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,$$

$$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$