Упр.1414 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) корень (x4lgx) > 10x;
3) x+3 > log3(26+3x);
4) 3-x < log5(20+5x).

Подробный ответ

$$x^{1+\lg x}<0{,}1^{-2}=100.$$
Так как $$x>0,$$ рассмотрим случаи.
1) $$0<x<1$$
Основание $$x$$ меньше 1, поэтому при переходе к логарифму знак неравенства меняется:
$$\log_x x^{1+\lg x}>\log_x 100.$$
$$1+\lg x>\frac{\lg 100}{\lg x}=\frac{2}{\lg x}.$$
Умножим на $$\lg x<0$$, меняя знак неравенства:
$$\lg x+\lg^2 x<2.$$
Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда
$$y^2+y-2<0,$$
$$ (y+2)(y-1)<0,$$
$$-2<y<1.$$
С учётом $$0<x<1$$ получаем:
$$-2<\lg x<0,$$
$$10^{-2}<x<1.$$
2) $$x>1$$
Тогда
$$\log_x x^{1+\lg x}<\log_x 100,$$
$$1+\lg x<\frac{2}{\lg x}.$$
После умножения на $$\lg x>0$$:
$$\lg x+\lg^2 x<2.$$
Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда снова
$$y^2+y-2<0,$$
$$-2<y<1.$$
С учётом $$x>1$$ получаем:
$$0<\lg x<1,$$
$$1<x<10.$$
Объединяя оба случая, получаем:
$$10^{-2}<x<10.$$
$$\sqrt{x^{4\lg x}}<10x.$$
Так как $$x>0,$$ то
$$x^{2\lg x}<10x.$$
1) $$0<x<1$$
Основание $$x<1$$, поэтому
$$\log_x x^{2\lg x}>\log_x(10x).$$
$$2\lg x&gt{1}+\frac{1}{\lg x}.$$
Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда
$$2y^2-y-1>0,$$
$$ (2y+1)(y-1)>0.$$
Отсюда $$y<-\frac12$$ или $$y>1.$$ С учётом $$0<x<1$$ остаётся
$$\lg x<-\frac12,$$
$$0<x<10^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$$
2) $$x>1$$
Тогда
$$\log_x x^{2\lg x}<\log_x(10x),$$
$$2\lg x<1+\frac{1}{\lg x}.$$
Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда
$$2y^2-y-1<0,$$
$$ (2y+1)(y-1)<0,$$
$$-\frac12<y<1.$$
С учётом $$x>1$$ получаем
$$1<x<10.$$
Итак,
$$\frac{1}{\sqrt{10}}<x<10.$$
$$x+3>\log_3(26+3^x).$$
Перепишем левую часть как показатель степени:
$$\log_3 3^{x+3}>\log_3(26+3^x).$$
Так как основание $$3>1,$$ то
$$3^{x+3}>26+3^x.$$
$$27\cdot 3^x>26+3^x,$$
$$26\cdot 3^x>26,$$
$$3^x>1,$$
$$x>0.$$
$$3-x<\log_5(20+5^x).$$
Перепишем:
$$\log_5 5^{3-x}<\log_5(20+5^x).$$
Так как основание $$5>1,$$ то
$$5^{3-x}<20+5^x.$$
$$\frac{125}{5^x}-20-5^x<0.$$
Пусть $$y=5^x, y>0.$$ Тогда
$$125-20y-y^2<0,$$
$$y^2+20y-125>0,$$
$$ (y+25)(y-5)>0.$$
Отсюда $$y<-25$$ или $$y>5.$$ Так как $$y>0,$$ остаётся
$$5^x>5,$$
$$x>1.$$