Упр.1413 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) (3x-1)log2(x) > 0.

1. $$\left(x^2-4\right)\log_{0,5}x>0$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Найдём, когда логарифм равен нулю:

   $$\log_{0,5}x=0 \;\Rightarrow\; x=1.$$

   Так как основание $$0,5<1,$$ то

   $$\log_{0,5}x>0 \iff 0<x<1,$$

   $$\log_{0,5}x<0 \iff x>1.$$

   Разложим многочлен:

   $$x^2-4=(x-2)(x+2).$$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$x^2-4>0$$ и $$\log_{0,5}x>0.$$

   Тогда

   $$x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty), \quad 0<x<1,$$

   пересечения нет.

   2) $$x^2-4<0$$ и $$\log_{0,5}x<0.$$

   Тогда

   $$x\in(-2;2), \quad x>1,$$

   откуда

   $$x\in(1;2).$$

2. $$\left(3x-1\right)\log_2x>0$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Найдём, когда логарифм равен нулю:

   $$\log_2x=0 \;\Rightarrow\; x=1.$$

   Так как основание $$2>1,$$ то

   $$\log_2x>0 \iff x>1,$$

   $$\log_2x<0 \iff 0<x<1.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) $$3x-1>0$$ и $$\log_2x>0.$$

   Тогда

   $$x>\frac13, \quad x>1,$$

   значит

   $$x>1.$$

   2) $$3x-1<0$$ и $$\log_2x<0.$$

   Тогда

   $$x<\frac13, \quad 0<x<1,$$

   значит

   $$0<x<\frac13.$$

Ответ

1) $$x\in(1;2).$$

2) $$x\in\left(0;\frac13\right)\cup(1;+\infty).$$