Упр.1413 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\left(x^2-4\right)\log_{0,5}x>0$$
2. $$\left(3x-1\right)\log_2(x)>0$$

1) Рассмотрим неравенство $$\left(x^2-4\right)\log_{0,5}x>0.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём, когда каждый множитель обращается в нуль:

$$x^2-4=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 2,$$

$$\log_{0,5}x=0 \;\Rightarrow\; x=1.$$

Так как $$x^2-4=(x-2)(x+2),$$ а при $$x>0$$ множитель $$x+2>0,$$ знак выражения определяется знаком $$x-2.$$

Рассмотрим промежутки:

• при $$0<x<1$$ имеем $$x^2-4<0$$ и $$\log_{0,5}x>0,$$ произведение отрицательно;
• при $$1<x<2$$ имеем $$x^2-4<0$$ и $$\log_{0,5}x<0,$$ произведение положительно;
• при $$x>2$$ имеем $$x^2-4>0$$ и $$\log_{0,5}x<0,$$ произведение отрицательно.

Следовательно, $$x\in(1;2).$$

2) Рассмотрим неравенство $$\left(3x-1\right)\log_2x>0.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём нули множителей:

$$3x-1=0 \;\Rightarrow\; x=\frac13,$$

$$\log_2x=0 \;\Rightarrow\; x=1.$$

Так как основание логарифма $$2>1,$$ то:

• $$\log_2x>0$$ при $$x>1,$$
• $$\log_2x<0$$ при $$0<x<1.$$

Рассмотрим знаки множителей:

• при $$0<x<\frac13$$: $$3x-1<0,$$ $$\log_2x<0,$$ произведение положительно;
• при $$\frac13<x<1$$: $$3x-1>0,$$ $$\log_2x<0,$$ произведение отрицательно;
• при $$x>1$$: $$3x-1>0,$$ $$\log_2x>0,$$ произведение положительно.

Значит, $$x\in\left(0;\frac13\right)\cup(1;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(1;2).$$
2) $$x\in\left(0;\frac13\right)\cup(1;+\infty).$$