Упр.1412 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{3x+1}{x-1}\right)\right)\le 0$$
2. $$\log_{\frac{1}{3}}\left(\log_4(c2-5)\right)>0$$

1) Рассмотрим неравенство

$$\log_{\frac12}\!\left(\log_{\frac12}\frac{3x+1}{x-1}\right)\le 0.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ то

$$\log_{\frac12}\frac{3x+1}{x-1}\ge 1.$$

Отсюда

$$\frac{3x+1}{x-1}\le \frac12.$$

Решим неравенство:

$$\frac{3x+1}{x-1}\le \frac12 \iff 2(3x+1)\le x-1 \quad \text{при } x>1,$$

но удобнее сразу привести к общему виду:

$$\frac{3x+1}{x-1}-\frac12\le 0 \iff \frac{5x+3}{2(x-1)}\le 0.$$

Критические точки: $$x=-\frac35$$ и $$x=1.$$

С учётом области определения внутреннего логарифма:

$$\frac{3x+1}{x-1}>0,$$

получаем пересечение условий:

$$x\in\left[-\frac35;\,-\frac13\right).$$

2) Рассмотрим неравенство

$$\log_{\frac13}\!\left(\log_4(x^2-5)\right)>0.$$

Так как основание $$\frac13<1,$$ то

$$\log_4(x^2-5)<1.$$

При этом выражение под внешним логарифмом должно быть положительным:

$$\log_4(x^2-5)>0.$$

Итак, решаем систему:

$$\begin{cases} \log_4(x^2-5)>0,\\ \log_4(x^2-5)<1. \end{cases}$$

Так как основание $$4>1,$$ получаем:

$$\begin{cases} x^2-5>1,\\ x^2-5<4. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} x^2>6,\\ x^2<9. \end{cases}$$

Следовательно,

$$x\in(-3;\,-\sqrt6)\cup(\sqrt6;\,3).$$

Ответ

1) $$x\in\left[-\frac35;\,-\frac13\right).$$

2) $$x\in(-3;\,-\sqrt6)\cup(\sqrt6;\,3).$$