Упр.1411 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 1) $$\log_{0,5}(x^2-5x+6)>-1$$; 2) $$\log_{8}(x^2-4x+3)\leq 1$$.

1) Рассмотрим неравенство $$\log_{0,5}(x^2-5x+6)>-1.$$

Так как $$-1=\log_{0,5}2,$$ а основание $$0{,}5<1,$$ то при переходе к показательной форме знак неравенства меняется:

$$x^2-5x+6<2.$$

Одновременно выражение под логарифмом должно быть положительным:

$$x^2-5x+6>0.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x^2-5x+6>0,\\ x^2-5x+6<2. \end{cases}$$

Имеем:

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$

$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4).$$

Тогда

$$\begin{cases} (x-2)(x-3)>0,\\ (x-1)(x-4)<0. \end{cases}$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty),$$

и

$$x\in(1;4).$$

Пересечение этих множеств:

$$x\in(1;2)\cup(3;4).$$

2) Рассмотрим неравенство $$\log_8(x^2-4x+3)\le 1.$$

Так как $$1=\log_8 8,$$ а основание $$8>1,$$ то получаем:

$$x^2-4x+3\le 8.$$

При этом подлогарифмическое выражение должно быть положительным:

$$x^2-4x+3>0.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} x^2-4x+3>0,\\ x^2-4x+3\le 8. \end{cases}$$

Имеем:

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3),$$

$$x^2-4x-5=(x-5)(x+1).$$

Тогда

$$\begin{cases} (x-1)(x-3)>0,\\ (x-5)(x+1)\le 0. \end{cases}$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty),$$

и

$$x\in[-1;5].$$

Пересечение:

$$x\in[-1;1)\cup(3;5].$$

Ответ

1) $$x\in(1;2)\cup(3;4).$$
2) $$x\in[-1;1)\cup(3;5].$$