Упр.1411 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) log8 (x2 — 4x + 3) < =1.

1. $$\log_{0,5}(x^2-5x+6)>-1$$

   Так как $$-1=\log_{0,5}2,$$ а при основании $$0<0,5<1$$ знак неравенства при переходе к аргументам меняется, получаем:

   $$x^2-5x+6<2.$$

   Одновременно выражение под логарифмом должно быть положительным:

   $$x^2-5x+6>0.$$

   Решим неравенства:

   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$$

   $$x^2-5x+4<0,$$

   $$x^2-5x+4=(x-1)(x-4).$$

   Тогда

   $$x\in(-\infty;2)\cup(3;+\infty),$$

   $$x\in(1;4).$$

   Пересечение этих множеств:

   $$x\in(1;2)\cup(3;4).$$

2. $$\log_8(x^2-4x+3)\le 1$$

   Так как $$1=\log_8 8,$$ а основание $$8>1,$$ получаем:

   $$x^2-4x+3\le 8.$$

   При этом должно выполняться условие:

   $$x^2-4x+3>0.$$

   Решим неравенства:

   $$x^2-4x-5\le 0,$$

   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3),$$

   $$x^2-4x-5=(x+1)(x-5).$$

   Тогда

   $$x\in[-1;5],$$

   $$x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty).$$

   Пересечение этих множеств:

   $$x\in[-1;1)\cup(3;5].$$

Ответ

1) $$x\in(1;2)\cup(3;4);$$ 2) $$x\in[-1;1)\cup(3;5].$$