Упр.1409 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{\lg x}<\frac{1}{2}$$
2. $$\log_{\frac{1}{2}}<\log_{\frac{1}{2}}(2x+6)+2$$

1) $$\sqrt{\lg x}<\frac12$$

Так как левая часть неотрицательна, возведём обе части в квадрат:

$$\lg x<\frac14.$$

При этом выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$\lg x\ge 0.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} \lg x\ge 0,\\ \lg x<\frac14. \end{cases}$$

Отсюда

$$\begin{cases} x\ge 1,\\ x<10^{1/4}. \end{cases}$$

Значит,

$$x\in\left[1;10^{1/4}\right).$$

2) $$\log_{\frac12}x<\log_{\frac12}(2x+6)+2$$

Перенесём число $$2$$ в логарифм:

$$2=\log_{\frac12}\frac14,$$

тогда

$$\log_{\frac12}x<\log_{\frac12}(2x+6)+\log_{\frac12}\frac14.$$

Сложим логарифмы:

$$\log_{\frac12}x<\log_{\frac12}\frac{2x+6}{4}.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

$$x>\frac{2x+6}{4}.$$

Решим неравенство:

$$4x>2x+6 \\ 2x>6 \\ x>3.$$

Проверим область допустимых значений:

$$x>0,\qquad 2x+6>0.$$

Эти условия выполняются при $$x>3.$$

Ответ: 1) $$x\in\left[1;10^{1/4}\right)$$; 2) $$x\in(3;+\infty).$$