Упр.1409 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) log1/2 < log1/2(2x+6)+2.

1. $$\sqrt{\lg x}<\frac12$$

   Так как левая часть неотрицательна, возведём обе части в квадрат:

   $$\lg x<\frac14$$

   При этом выражение имеет смысл, если

   $$\lg x\ge 0,$$

   то есть

   $$x\ge 1.$$

   Кроме того,

   $$\lg x<\lg 10^{1/4},$$

   откуда

   $$x<10^{1/4}.$$

   Совмещая условия, получаем:

   $$1\le x<10^{1/4}.$$

2. $$\log_{\frac12}x<\log_{\frac12}(2x+6)+2$$

   Запишем число $$2$$ как логарифм:

   $$2=\log_{\frac12}\left(\frac14\right).$$

   Тогда

   $$\log_{\frac12}x<\log_{\frac12}(2x+6)+\log_{\frac12}\left(\frac14\right)$$ $$\log_{\frac12}x<\log_{\frac12}\left(\frac{2x+6}{4}\right).$$

   Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства при переходе к аргументам меняется:

   $$x>\frac{2x+6}{4}.$$

   Решим неравенство:

   $$4x>2x+6$$
   $$2x>6$$
   $$x>3.$$

   Проверим область определения:

   $$x>0,\qquad 2x+6>0.$$

   Обе эти условия выполняются при $$x>3$$.

Ответ

1) $$1\le x<10^{1/4}$$; 2) $$x>3$$.