Упр.1408 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) log1/3 (x2 — 2) > =-1.

1. $$\log_6(2-x)<\log_6(2x+5)$$

   Так как основание $$6>1$$, то логарифмическая функция возрастает, значит

   $$2-x<2x+5.$$

   Решим неравенство:

   $$ 2-x<2x+5 \\ -3x<3 \\ x>-1 $$

   Учтём область определения:

   $$ 2-x>0 \Rightarrow x<2, \qquad 2x+5>0 \Rightarrow x>-\frac{5}{2}. $$

   Пересекаем условия:

   $$x\in(-1;2).$$

2. $$\log_{\frac13}(x^2-2)\ge -1$$

   Представим число $$-1$$ в виде логарифма:

   $$-1=\log_{\frac13}3.$$

   Так как основание $$\frac13<1$$, то логарифмическая функция убывает, поэтому

   $$x^2-2\le 3.$$

   Отсюда

   $$x^2\le 5 \Rightarrow -\sqrt5\le x\le \sqrt5.$$

   Теперь учтём область определения:

   $$x^2-2>0 \Rightarrow x<-\sqrt2 \ \text{или}\ x>\sqrt2.$$

   Пересекаем с найденным промежутком:

   $$x\in[-\sqrt5;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt5].$$

Ответ

1) $$x\in(-1;2)$$

2) $$x\in[-\sqrt5;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt5]$$