Упр.1408 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{6}(2-x)<\log_{6}(2x+5)$$
2. $$\log_{\frac{1}{3}}(x^2-2)\geq -1$$

1) Рассмотрим неравенство $$\log_6(2-x)<\log_6(2x+5).$$

Так как основание логарифма $$6>1,$$ то знак неравенства сохраняется:

$$2-x<2x+5.$$

Решим его:

$$2-x<2x+5 \\\\ -3x<3 \\\\ x>-1.$$

Учтём область определения:

$$2-x>0 \Rightarrow x<2,$$

$$2x+5>0 \Rightarrow x>-\frac{5}{2}.$$

Пересекаем все условия:

$$x\in(-1;2).$$

2) Рассмотрим неравенство $$\log_{\frac13}(x^2-2)\ge -1.$$

Так как $$-1=\log_{\frac13}3,$$ а основание $$\frac13<1,$$ то при переходе к аргументам знак неравенства меняется:

$$x^2-2\le 3.$$

Отсюда

$$x^2\le 5,$$

то есть

$$-\sqrt5\le x\le \sqrt5.$$

Теперь учтём область определения логарифма:

$$x^2-2>0 \Rightarrow x<-\sqrt2 \text{ или } x>\sqrt2.$$

Пересекаем полученные условия:

$$x\in[-\sqrt5;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt5].$$

Ответ

1) $$x\in(-1;2).$$

2) $$x\in[-\sqrt5;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;\sqrt5].$$